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라플라스 변환은 미분방정식을 대수방정식 꼴로 변환시켜 보다 쉬운 방정식을 풀 수 있다는 이점을 가지고 있는 변환법이다. 대수방정식은 이런 애들을 칭하는 말이다. 대수적인 특성을 가지고 있는 방정식을 의미하며(당연히..) 사칙연산을 통해 해를 구할 수 있는 방정식을 의미한다.

라플라스 변환 쉽게 배우기 [1편] : (정의, 기본 공식 4가지)

[미분적분학] 라플라스 변환(Laplace Transform) 예제 : 네이버 블로그

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– MathWorks 한국 Symbolic Math Toolbox™에서 다음 워크플로로 라플라스 변환을 사용하여 미분 방정식을 풉니다. 라플라스 변환의 간단한 예제는 laplace 및 ilaplace 항목을 참조 … 기호 표현식과 기호 함수의 라플라스 변환과 라플라스 역변환.
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라플라스 변환을 사용하여 미분 방정식 풀기
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관련 내용을 찾고 있던 분들에게 도움이 되었으면 좋겠습니다.
오늘도 좋은 하루 보내세요~
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3 1차 선형 상미분방정식 (2) 라플라스 변환의 적용

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#3.1Laplace Transform(라플라스변환) - 공학이야기 — #3.1Laplace Transform(라플라스변환) – 공학이야기

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[미분적분학] 라플라스 변환(Laplace Transform) 예제

#미분적분학

사실 공업수학에서 미분방정식의 해를 구하기 위해 사용하는 방법이지만 별도로 미분적분학에 먼저 포스팅한다.

라플라스 변환은 미분방정식을 대수방정식 꼴로 변환시켜 보다 쉬운 방정식을 풀 수 있다는 이점을 가지고 있는 변환법이다.

대수방정식은 이런 애들을 칭하는 말이다. 대수적인 특성을 가지고 있는 방정식을 의미하며(당연히..) 사칙연산을 통해 해를 구할 수 있는 방정식을 의미한다. 미분방정식은 미분개념과 적분개념이 모두 포함되어 있는 방정식인데, 이 방정식은 애초에 사람이 인지하기가 어렵다. 변화율을 인지하는 것 자체가 어렵기도 하고 지수함수나 삼각함수와 같은 초월함수들이 포함될 경우 더더욱 이해하기가 어렵다. 반면 대수방정식은 인수분해 또는 근의 공식을 통해 쉽게 해를 구할 수 있다는 장점이 있다. 또한 대수방정식의 해를 구하는 과정에서 자연스럽게 초깃값이 사용되므로 해의 형태가 일반해가 아닌 특수해 형태로 나온다는 장점이 있다.(미지상수가 없다는 뜻!)

라플라스 변환을 통해 미분방정식을 대수방정식으로 바꾸고, 대수방정식의 해를 구한 다음 다시 라플라스 역변환을 통해 원래 미분방정식의 해를 얻을 수 있다. 라플라스 역변환은 간단히 대수방정식을 다시 미분방정식으로 바꾸는 것을 말한다

15장 라플라스 변환을 통한 미분방정식 풀이

15장 라플라스 변환을 통한 미분방정식 풀이

자 드디어 저희들의 라플라스 포스팅 최종 목적지에 도착을 했습니다.

지금까지 포스팅 해왔던 내용을 바탕으로 미분방정식을 풀어보며 라플라스 포스팅을 마치도록 합시다

저희가 할 내용을 그림으로 표현해 보면

커다란 화살표처럼 한바퀴 쭉 도는 겁니다.

이번 포스팅은 새로운 개념은 없으며 그냥 문제풀이 포스팅이에요.

그럼 라플라스 변환의 필수 재료인 라플라스 변환표를 가져다 놓고 시작하도록 합시다.

참고로 학교마다 다르긴 한데 제가 아는 한도내에서는(즉 저희 학교기준으로는)

수학 시험 때는 표를 제공 안하고 외워서 보니

포스팅에서 표 보고 푼다고 표를 안 외우시면 큰일 나실 수 있습니다.

자신의 학교 시험이 표를 외워야 하는지 안외워도 되는지는 스스로 알아 두시길 바랍니다.

그럼 1번 예제 시작하겠습니다.

첫 번째 입니다.

1차 미분방정식이니 초기값이 하나 필요하겠죠

근데 모르니까 그냥 라고 합시다.(C 는 임의의 상수에요)

첫 번째로 할 것 라플라스 변환입니다.

변환이 완료 되었습니다.

미분에 대한 항이 다 사라졌음을 볼 수 있습니다.

바로 를 미지수로 가지는 대수 방정식이죠

이제 저 대수방정식을 풀어서 미지수 를 구해봅시다.

가 나왔습니다.

이제 무엇을 하면 될까요???

네 ㅎㅎ 바로 역변환입니다.

다행스럽게도 표에 있는 형태가 바로 나왔네요

역변환을 해보면

가 구해졌습니다.

이번엔 차수를 2차로 늘려보죠

2번째 예제는 입니다.

2차 미분방정식이니 초기값이 2개 필요하겠죠

이번엔 초기값을 주고 풀어보죠

라고 하고 풀어봅시다.

첫번째로 라플라스 변환을 해보죠

대수방정식으로 변환이 완료되었습니다.

이제 를 구해보죠

참고로 저기 붉은색 으로 색칠해 놓은 부분은 별다른 이유는 없습니다.

그냥 저것을 Characteristic Equation (특성 방정식)이라고

불리는 것 정도만 알고 계시면 됩니다.

(일반적인 미분방정식 풀이에서도 한번 등장했던 단어죠)

어쨋든 식이 표에 없는 모양입니다.

따라서 표에 있는 모양으로 변형시켜야 합니다.

(내고 나서 후회하는 건데 좀 식이 지저분하게 나올겁니다…..)

변형시켜 보죠

식이 변형 완료 되었습니다.

분수가 마구잡이로 들어가서 그렇지 분명 표에 있는 형태입니다.

다시 써보면 아래와 같은데

s-Shifting의 개념이 들어갔네요 ㅎㅎ

이제 계산된 결과를 역변환 해봅시다.

가 나왔습니다.

즉 미분방정식의 해는

인 것이죠

슬슬 익숙해 지셨죠 이제 진행을 빨리 해보겠습니다.

마지막 예제 입니다.

을 풀어보죠

초기값은 간단하게 을 줍시다.

먼저 변환을 하고 풀면

가 나옵니다. 표에 없으니 있는 모양으로 바꿔줍시다.

표에 있는 모양이 나왔습니다.

이번엔 t-Shfting 개념이 들어가 있네요

그것에 유의하며 역변환 해보면 아래와 같죠

이것으로 포스팅 마치도록 하겠습니다.

제 라플라스 포스팅을 보시는 분들은 이것까지만 하면 끝입니다.

아마도 뒤에 하게될 포스팅 내용은 필요 없을거에요

다음 포스팅 부터는 아마 99.99%의 분들이 필요 없을법한 브롬위치 적분을 통한 라플라스 역변환 입니다.

사실상 여기서 끝이니 인사드릴께요

지금까지 봐주셔서 감사합니다

수고하셧어요

예제풀이 포스팅 이니 만큼 요약은 없습니다.

15장 포스팅 끝

미분방정식의 라플라스 변환

본격적으로 미분방정식에 라플라스 변환을 적용시켜봅시다.

가장 먼저 알아야될 내용은 아래 내용입니다.

t에 관한 함수 y를 미분 했을시 위와 같은 형태로 나열됩니다.

보면 2번 미분한 함수를 라플라스 변환하였는데, 변환된 s함수의 최대 차수가 미분한 횟수와 같습니다.

만약 1번 미분한 함수를 변환할시에는

이런 식이 되는 것입니다.

이를 이용해서 간단한 미분 방정식을 풀어보겠습니다.

위 미분 방정식을 푸는 것은 간단합니다.

앞서 정리한 homogeneous해와 particular해를 구하는 방법으로 구하면 됩니다.

특성방정식을 이용해 homogeneous해 , 특수해를 원하는 방식으로 구할수 있죠

그렇지만 라플라스 변환을 하게되면 더 쉽게 풀수 있습니다.

또한 일반적인 풀이법에 해당하지 않는 미분방정식의 경우, 라플라스 변환으로 풀릴수도 있습니다.

직접 한번 풀어보겟습니다.

초기 값이 주어졌을때 보다 간단히 해를 구할수 있습니다.

중간에 연습한다고 삼천포로 빠져서 그렇지 분수 형태로 나누고 나서 하시면 가장 편합니다.

좀 더 내용 심화를 해서 이변수 함수의 라플라스 변환에 대해서도 알고 넘어갑시다.

예를 들어봅시다.

위 내용과 같이 변수가 t에 관해 미분되어있는 경우만이 이전의 미분된 함수의 라플라스 변환 공식에 따르게 되고,

x에 관해 미분되있을 경우는 영향을 주지 못합니다.

이런 이변수함수 혹은 다변수 함수의 라플라스 변환은 편미분 방정식을 푸는 하나의 툴로써 사용되니 알아두면 좋겟죠

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미분방정식의 라플라스 변환

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