Top 6 올림포스 고난도 수학 상 답지 The 158 Detailed Answer

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[수학도사 박성채] LIVE강의 (EBS올림포스고난도) 고등수학 07.평면좌표와 직선의방정식 #04 (내신 상위 4% 고득점문항)

EBS 올림포스 고난도 수학 답지 정답

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EBS 올림포스 고난도 수학 답지 정답 본문

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피크에듀학원 도곡본원 (매쓰피크)

서울시 강남구 언주로 120 302호
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올림포스 고난도 해설

올림포스 고난도 고등수학

올림포스 고난도 수학1

올림포스 고난도 수학2

올림포스 고난도 미적분

올림포스 고난도 확률과 통계

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EBS 올림포스 고난도 수학 답지 정답

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이번에는 2015 개정과정에 맞춰 나온 EBS 올림포스 고난도 수학 답지 정답 입니다.

새 교육과정에 맞춰 공부할 우리 고1 학생들에게 좋은 교재입니다.

상위권 학생을 위한 교재로 일품, 절대등급, 블랙라벨과 같은 심화서들과 마찬가지로 변별력 문항 연습에 아주 좋은 교재입니다.

답지, 정답, 해설은 아래로 쭈우욱 내리면 있습니다. ^^

EBS 올림포스 고난도 수학

첫 번째 이야기

책 소개

내신 기출 우수 문항, 상위 7% 고득점 문항, 상위 4% 변별력 문항이 수록되어 있습니다. 학교 시험에서 출제 가능성이 높은 예상 문항들로 구성하여 실전에 대비할 수 있습니다. 상위 7% 수준의 문항을 개념별로 수록하여 내신 고득점을 대비할 수 있으며 상위 4% 문항은 내신 1등급을 목표로 하는 학생들에게 도움이 될 것입니다.

내신 상위 4% of 4% 에서는 등급을 가르는 최고난도 문항을 입체적으로 이행할 수 있도록 구성하였으며 풀이과정을 흐름에 따라 직접 정리해 문항을 정확하게 이해 할 수 있도록 하였습니다.

두 번째 이야기

공부법소개

개념을 얼마나 공부하고 기출을 풀어야 하나요? EBS 발췌

수능을 한 달 앞두고 있어도 공부의 순서는 변함없이 개념이 먼저이고 다음에 문제 풀이입니다. 개념을 익히지 않고 문제 풀이만 하면 큰 체계 속에서 수능 출제 개념을 익힐 수도 없고, 전략적으로 공부할 수 없습니다. 개념을 익히고, 수능특강, 수능완성을 순차적으로 풀이하면서 실력을 키워가면 좋지만, 수능이 임박해서는 시간도, 마음의 여유도 없죠. 늦었다는 생각을 지우고 가급적 집중적이고 빠른 속도로 개념을 익히고, 바로 기출 문제 풀이로 들어갑니다.

시간이 제한적인 만큼 많은 양의 기출 문제를 푸는 것보다는 최신 기출부터 차근차근, 꼼꼼히 보는 것이 중요합니다. 수능 당해 연도 모의고사 자료가 가장 중요하며, 이전 3년에 해당하는 평가원 기출 문제를 1순위로, 교육청 기출 문제를 2순위로 보면 됩니다. 다만, 개념을 익히고 수능특강, 수능완성을 풀어 문제에 익숙해지는 시간 없이 바로 기출 문제 풀이를 시작한 만큼 평가원 기출보다는 다소 평이한 교육청 기출을 먼저 풀이하고, 올해 기출부터 최우선으로 꼭 여러 번, 반복적으로 보길 바랍니다.

올림포스 고난도 수학 답지, 올림포스 고난도 수학 정답, 올림포스 고난도 수학 해설을 올려드립니다.

업로드한 자료는 반드시 답안 확인 및 오답 체크에만 사용하셨으면 좋겠습니다.

EBS 올림포스 고난도 수학 답지 정답은 아래 있으니 다운받아 확인하세요.^^

PDF 파일이므로 PDF 뷰어는 따로 받으시고 나서 답지를 받아 사용하시기 바랍니다.

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2018 고난도 수학.pdf 8.93MB

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EBS 올림포스 수학(상) 답지 정답

(1) 올 림 포 스. 수학(상). 정답과 풀이. (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 1. 2017-11-01 오전 10:39:34.

(2) 정답과 풀이 Ⅰ. 다항식. 01. 다항식의 연산. 기본 유형 익히기. 본문 8~9쪽. 유제. 1. 4xÜ`-5xÛ`+x+13 2. -29 3. 144. 1.. 4. ①. 4.. . 3x-3. xÛ`+x-1 3xÜ`. +ax. +b. . 3xÜ`+3xÛ`. . -3xÛ`+(a+3)x. +b. . -3xÛ`. +3. . . -3x -3x. (a+6)x +b-3. 나머지가 2x+3이므로 a+6=2, b-3=3 A-2B+3C. 따라서 a=-4, b=6이므로. =(xÜ`+xÛ`-3x)-2(3xÛ`+x-5)+3(xÜ`+2x+1). a+b=-4+6=2. =(xÜ`+xÛ`-3x)+(-6xÛ`-2x+10)+(3xÜ`+6x+3). ①. =(1+3)xÜ`+(1-6)xÛ`+(-3-2+6)x+(10+3) =4xÜ`-5xÛ`+x+13  4xÜ`-5xÛ`+x+13. 유형 확인. 2.. (x+3)(2xÛ`-4x+7)(xÝ`+3xÛ`-2x-5). =x(2xÛ`-4x+7)(xÝ`+3xÛ`-2x-5) . +3(2xÛ`-4x+7)(xÝ`+3xÛ`-2x-5). . yy ㉠. 본문 10~11쪽. 01 ⑤ 02 ② 03 20 04 ⑤ 06 4xÛ`+9yÛ`+zÛ`-12xy-6yz+4zx 08 48 09 -1 10 ① 11 3. (2xÛ`-4x+7)(xÝ`+3xÛ`-2x-5)의 전개식에서 xÛ`항은. 01 2(-A+B)-{B-(A-2B)}. (2xÛ`)(-5)+(-4x)(-2x)+7(3xÛ`)=(-10+8+21)xÛ`. =-2A+2B-(B-A+2B). 05 ② 07 ③ 12 ④. =-2A+2B-3B+A. =19xÛ` (2xÛ`-4x+7)(xÝ`+3xÛ`-2x-5)의 전개식에서 xÜ`항은. =-A-B. (2xÛ`)(-2x)+(-4x)(3xÛ`)=(-4-12)xÜ`=-16xÜ`. =-(4xÛ`-x+1)-(-xÛ`+3x-4). 따라서 (x+3)(2xÛ`-4x+7)(xÝ`+3xÛ`-2x-5)의 전개식에. =-4xÛ`+x-1+xÛ`-3x+4. 서 xÜ`항은 ㉠에서. =-3xÛ`-2x+3 ⑤. x(19xÛ`)+3(-16xÜ`)=(19-48)xÜ`=-29xÜ` 이므로 xÜ`의 계수는 -29이다.  -29. 02 2A+B=xÛ`+8x-3 A-B=2xÛ`+x-12. yy ㉠ yy ㉡. ㉠+㉡을 하면. 3.. 3A=3xÛ`+9x-15. ab+bc+ca=;2!;{(a+b+c)Û`-(aÛ`+bÛ`+cÛ`)}. A=xÛ`+3x-5 ㉡에서. =;2!;(0Û`-24)=-12. xÛ`+3x-5-B=2xÛ`+x-12. 이므로. B=-xÛ`+2x+7. aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`=(ab+bc+ca)Û`-2abc(a+b+c). X-A=2B에서. =(-12)Û`-0=144. X=A+2B  144. 2. =(xÛ`+3x-5)+2(-xÛ`+2x+7) . 올림포스•수학 (상). (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 2. 2017-11-01 오전 10:39:35.

(3) =xÛ`+3x-5-2xÛ`+4x+14. 07 (x+3)Ü`-(x+2)(xÛ`-2x+4). =-xÛ`+7x+9. =(xÜ`+9xÛ`+27x+27)-(xÜ`+8) ②. =9xÛ`+27x+19 따라서 x의 계수는 27이다.. 다른풀이. 위의 풀이에서 ㉠-㉡을 하면. ③. A+2B=-xÛ`+7x+9. 08 ABÓ=a, BCÓ=b, BFÓ=c라 하자.. 03 (x+a)(x+b)(x+1) ={xÛ`+(a+b)x+ab}(x+1). 직육면체의 겉넓이가 94이므로. =xÜ`+(a+b+1)xÛ`+(ab+a+b)x+ab. 2(ab+bc+ca)=94. 이므로 xÛ`의 계수는 a+b+1, x의 계수는 ab+a+b이다. xÛ`의 계수가 7이므로. ab+bc+ca=47 DBÓ `Û +BGÓ `Û +GDÓ `Û =100이므로. a+b+1=7. (aÛ`+bÛ`)+(bÛ`+cÛ`)+(cÛ`+aÛ`)=100. a+b=6. aÛ`+bÛ`+cÛ`=50. x의 계수가 14이므로. ㉠, ㉡에서. ab+a+b=14. (a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca). yy ㉠. yy ㉡. =50+2_47=144. ab=14-6=8 따라서. 이때 a+b+c>0이므로 a+b+c=12. aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=6Û`-2_8=36-16=20. 따라서 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은  20. 4(a+b+c)=4_12=48  48. 04 (1+x+2xÛ`+3xÜ`+4xÝ`)Û` =(1+x+2xÛ`+3xÜ`+4xÝ`)(1+x+2xÛ`+3xÜ`+4xÝ`). 09 1000=a로 놓으면. 이 식의 전개식에서 xÝ` 항은. 999_(1000Û`+1000+1)=(a-1)(aÛ`+a+1) . 1_4xÝ`+x_3xÜ`+2xÛ`_2xÛ`+3xÜ`_x+4xÝ`_1=18xÝ`. =aÜ`-1Ü`. 따라서 xÝ`의 계수는 18이다.. =1000Ü`-1 . ⑤. =10á`-1 따라서 k=-1. 05 .  -1. =(xÛ`+1)Û`-(xÛ`+1)(xÛ`+x)+(xÛ`+x)Û` =(xÝ`+2xÛ`+1)-(xÝ`+xÜ`+xÛ`+x)+(xÝ`+2xÜ`+xÛ`) =xÝ`+xÜ`+2xÛ`-x+1. 10 aÛ`-bÛ`=’2, ab=-;2!;이므로. 따라서 xÛ`의 계수는 2이다. ②. 06 (2x-3y+z)Û`={2x+(-3y)+z}Û` =(2x)Û`+(-3y)Û`+zÛ`+2_2x_(-3y)+2_(-3y)_z . +2_z_2x. =4xÛ`+9yÛ`+zÛ`-12xy-6yz+4zx. (aÜ`-bÜ`)(aÜ`+bÜ`)=aß`-bß`=(aÛ`-bÛ`)Ü`+3aÛ`bÛ`(aÛ`-bÛ`) =(‘2)Ü`+3{-;2!;}2`_’2 =2’2+ =. 3’2 4. 11’2 4.  4xÛ`+9yÛ`+zÛ`-12xy-6yz+4zx. ①. 정답과 풀이. (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 3. 3. 2017-11-01 오전 10:39:35.

(4) 정답과 풀이. 11 . 따라서 X-2A=B에서. 3x+1. X=2A+B=(A+B)+A . xÛ`-x+2 3xÜ`-2xÛ`+3x+7 . 3xÜ`-3xÛ`+6x. =(-xÛ`+3xy-4yÛ`)+(-2xÛ`+2xy-2yÛ`). . . xÛ`-3x+7. =-3xÛ`+5xy-6yÛ`. . . xÛ` -x+2. . . -2x+5.  -3xÛ`+5xy-6yÛ` 단계. 위의 나눗셈에서 a=3, b=-3, c=-2, d=5이므로 a+b+c+d=3-3-2+5=3 3. 12 . yy ➌. 채점 기준. 비율. ➊. 3A+3B를 구한 경우. 30`%. ➋. 주어진 식을 연립하여 A를 구한 경우. 40`%. ➌. 다항식 X를 구한 경우. 30`%. 2x-1. xÛ`-x+b 2xÜ`-3xÛ`. +ax. . 2xÜ`-2xÛ` +2bx. . . . . . . -xÛ`+ (a-2b)x -xÛ`. +x. -2. 02 xÜ`+xÛ`+x=A라 하면 (주어진 식)=(A+2)(A-2)=AÛ`-4. -2 -b. (a-2b-1)x +b-2. 위의 나눗셈에서 2xÜ`-3xÛ`+ax-2를 xÛ`-x+b로 나누었을. yy ➊. =(xÜ`+xÛ`+x)Û`-4. =xß`+xÝ`+xÛ`+2(xÞ`+xÜ`+xÝ`)-4. yy ➋. =xß`+2xÞ`+3xÝ`+2xÜ`+xÛ`-4. yy ➌.  xß`+2xÞ`+3xÝ`+2xÜ`+xÛ`-4. 때의 몫이 2x-1, 나머지가 (a-2b-1)x+b-2이다. 이때 나머지가 0이어야 하므로. 단계. 채점 기준. 비율. a-2b-1=0, b-2=0. ➊. 공통 부분을 A로 놓고 식을 간단히 한 경우. 30`%. 따라서 a=5, b=2이므로. ➋. 전개 공식을 이용한 경우. 40`%. a+b=5+2=7. ➌. 다항식을 정리한 경우. 30`%. ④. 03 다항식 f(x)를 x+3으로 나누었을 때의 몫이 3x+2이 고 나머지가 2이므로. 서술형. 연습장. f(x)=(x+3)(3x+2)+2=3xÛ`+11x+8 본문 12쪽. 3A+3B=-3xÛ`+9xy-12yÛ`. 3x+5 x+2 3xÛ`+11x +8. 01 -3xÛ`+5xy-6yÛ` 02 xß`+2xÞ`+3xÝ`+2xÜ`+xÛ`-4 03 몫: 3x+5, 나머지: -2. 01 A+B=-xÛ`+3xy-4yÛ`에서. 3xÛ` +6x . 5x +8. yy ➊. 5x+10. yy ➋. -2. 따라서 몫은 3x+5, 나머지는 -2이다.. 단계. 3A+3B=-3xÛ`+9xy-12yÛ` . 4. 7xÛ`-xy-2yÛ`. 5A=-10xÛ`+10xy-10yÛ` A=-2xÛ`+2xy-2yÛ`. yy ➋. yy ➌.  몫: 3x+5, 나머지: -2. 이므로 다음과 같이 다항식 A를 구할 수 있다. – 3B-2A=. yy ➊. 채점 기준. 비율. ➊. `f(x)를 구한 경우. 30`%. ➋. 나눗셈을 계산한 경우. 40`%. ➌. 몫과 나머지를 구한 경우. 30`%. 올림포스•수학 (상). (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 4. 2017-11-01 오전 10:39:35.

(5) 내신. +. 수능. 01 ③. 고난도 문항. 02 -63. 03 2017=a, ‘¶2018=b로 놓으면. 본문 13쪽. (2017+’¶2018)Ü`+(2017-‘¶2018)Ü`. 03 ④. =(a+b)Ü`+(a-b)Ü` =(aÜ`+3aÛ`b+3abÛ`+bÜ`)+(aÜ`-3aÛ`b+3abÛ`-bÜ`). 01 ;a!;+;b!;+;c!;=-1에서 ;a!;+;b!;+;c!;=. =2aÜ`+6abÛ` =2a(aÛ`+3bÛ`). ab+bc+ca =-1 abc. 이므로. 이므로 ab+bc+ca=-abc. (2017+’¶2018)Ü`+(2017-‘¶2018)Ü` 2017. aÛ`+bÛ`+cÛ`=24에서. =. (a+b)Ü`+(a-b)Ü` a. =. 2a(aÛ`+3bÛ`) a. aÛ`+bÛ`+cÛ`=(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca) 24=(-4)Û`-2(ab+bc+ca) 따라서 ab+bc+ca=-4, abc=4이므로 {;a!;}2`+{;b!;}2`+{;c!;}2`=. =2(aÛ`+3bÛ`). 1 1 1 bÛ`cÛ`+aÛ`cÛ`+aÛ`bÛ` + + = aÛ` bÛ` cÛ` aÛ`bÛ`cÛ`. =. (ab+bc+ca)Û`-2abc(a+b+c) (abc)Û`. =. (-4)Û`-2_4_(-4) 4Û`. =2(2017Û`+3_2018) 이때 2017Û`의 일의 자리의 수는 9이고, 3_2018의 일의 자리 의 수는 4이며, 2_(9+4)의 일의 자리의 수는 6이므로 2_(2017Û`+3_2018)의 일의 자리의 수는 6이다. 따라서 구하는 일의 자리의 수는 6이다. ④. =3 ③. 02 m+n=(ax+by)+(bx+ay). =a(x+y)+b(y+x)=(x+y)(a+b) =(-3)_1. =-3 한편 xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy=(-3)Û`-2_1=7 aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=1Û`-2(-1)=3 이므로 mn=(ax+by)(bx+ay)=abxÛ`+aÛ`xy+bÛ`xy+abyÛ` =ab(xÛ`+yÛ`)+(aÛ`+bÛ`)xy =(-1)_7+3_1. =-4 따라서 mÜ`+nÜ`=(m+n)Ü`-3mn(m+n). =(-3)Ü`-3_(-4)_(-3) =-27-36. =-63  -63. 정답과 풀이. (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 5. 5. 2017-11-01 오전 10:39:35.

(6) 정답과 풀이 Ⅰ. 다항식. 02. 인수정리에 의해 두 등식 f(1)=0, f(2)=0이 모두 성립한다.. 나머지정리. 기본 유형 익히기. f(1)=1+a-7+b=0에서 yy ㉠. a+b=6 본문 16~17쪽. 유제. 1. 9 2. 78 4. 몫: xÛ`-x+1, 나머지: 9. 1.. 진다.. f(2)=8+4a-14+b=0에서 yy ㉡. 4a+b=6. 3. 12. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=6이므로 f(x)=xÜ`-7x+6. 2xÛ`-1=a+b(x-1)+c(x-1)(x-2)의 우변을 정리. 따라서 f(x)를 x+2로 나누었을 때의 나머지는 f(-2)=(-2)Ü`-7_(-2)+6. 하면. =12. 2xÛ`-1=cxÛ`+(b-3c)x+a-b+2c.  12. 양변의 동류항의 계수를 비교하면 c=2, b-3c=0, a-b+2c=-1. 다른풀이. 따라서 a=1, b=6, c=2이므로. f(x)=xÜ`+axÛ`-7x+b를 xÛ`-3x+2로 나누었을 때의 몫을. a+b+c=9. Q(x)라 하면 9. f(x)=xÜ`+axÛ`-7x+b=(xÛ`-3x+2)Q(x) =(x-1)(x-2)Q(x). 다른풀이. 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면 2-1=a이므로. f(1)=1+a-7+b=0. yy ㉠. a=1. f(2)=8+4a-14+b=0. yy ㉡. 등식의 양변에 x=2를 대입하면 8-1=a+b이므로. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=6이므로. b=6. f(x)=xÜ`-7x+6. 또한 양변의 이차항의 계수가 서로 같아야 하므로. 따라서 f(x)를 x+2로 나누었을 때의 나머지는. c=2. f(-2)=(-2)Ü`-7_(-2)+6. =12. 따라서 a=1, b=6, c=2이므로 a+b+c=9. 2.. 4.. 나머지정리에 의해. 먼저 2xÜ`-5xÛ`+5x+6을 x- ;2#;으로 나누었을 때의 몫. 과 나머지를 조립제법을 이용하여 구하자. . RÁ=f(1)=1+a+3=a+4 Rª=f(-1)=1-a+3=-a+4. ;2#;. 이때 RÁ-Rª=20이므로. 2. (a+4)-(-a+4)=20, 2a=20 a=10이므로. 2. f(x)=xÛ`+10x+3 따라서 f(x)를 x-5로 나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의해 f(5)=5Û`+10_5+3=78  78. 3.. 5. 6. 3. -3. 3. -2. 2. 9. 몫은 2xÛ`-2x+2, 나머지는 9이므로 2xÜ`-5xÛ`+5x+6={x-;2#;}(2xÛ`-2x+2)+9 ={x-;2#;}_2(xÛ`-x+1)+9 =(2x-3)(xÛ`-x+1)+9. f(x)가 xÛ`-3x+2=(x-1)(x-2)로 나누어떨어지므. 로 f(x)는 x-1로도 나누어떨어지고, x-2로도 나누어떨어. 6. -5. 따라서 구하는 몫은 xÛ`-x+1, 나머지는 9이다.  몫: xÛ`-x+1, 나머지: 9. 올림포스•수학 (상). (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 6. 2017-11-01 오전 10:39:35.

(7) 유형 확인. 01 ⑤ 06 39 11 ③. 02 ④ 07 ③ 12 -4. 본문 18~19쪽. 03 -9 04 ② 05 1 08 -16 09 -27 10 ①. 04 다항식 f(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지가 -4이므 로 나머지정리에 의해 f(-1)=-4 따라서 다항식 xÛ`f(x)+3을 x+1로 나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의해. 01 등식 (x-2)(xÛ`+2)P(x)=xÝ`+axÛ`+b는 x에 대한. (-1)Û`_f(-1)+3=1_(-4)+3=-1 ②. 항등식이고, 우변의 최고차항의 계수가 1이므로. 05 f(x)를 xÛ`-3x+2로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면. P(x)=x+c(c는 상수)로 놓을 수 있다. (x-2)(xÛ`+2)(x+c)=xÝ`+axÛ`+b에서. f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+3x-2. …… ㉠. (xÜ`-2xÛ`+2x-4)(x+c)=xÝ`+axÛ`+b. ㉠의 양변에 x=1을 대입하면 f(1)=1. xÝ`+(c-2)xÜ`+(2-2c)xÛ`+(2c-4)x-4c=xÝ`+axÛ`+b. 따라서 다항식 f(2x-3)을 x-2로 나누었을 때의 나머지는. 이 식은 x에 대한 항등식이므로. 나머지정리에 의해. c-2=0, 2-2c=a, 2c-4=0, -4c=b. f(2_2-3)=f(1)=1. 즉, a=-2, b=-8, c=2이므로. 1. a+b=-10. 다른풀이. ⑤. f(x)를 xÛ`-3x+2로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+3x-2. …… ㉠. ㉠의 x 대신 2x-3을 대입하면. 02. (xÛ`+3x-2)Ü`=a¤xß`+a°xÞ`+y+aÁx+a¼의 양변에. f(2x-3)=(2x-4)(2x-5)Q(2x-3)+6x-11. x=1을 대입하면. =2(x-2)(2x-5)Q(2x-3)+6(x-2)+1 . (1+3-2)Ü`=a¤+a°+y+aÁ+a¼. =(x-2){2(2x-5)Q(2x-3)+6 }+1. 따라서 a¼+aÁ+y+a°+a¤=2Ü`=8. 따라서 f(2x-3)을 x-2로 나누었을 때의 나머지는 1이다. ④. 06 항등식 f(2x)=g(x)(x-2)+3에 x=2를 대입하면 f(4)=3. 03 xÜ`+ax+b를 xÛ`+3x+2로 나누었을 때의 몫을 Q(x). g(x)-2x를 x-4로 나누었을 때의 나머지는 5이므로 나머지. 라 하면 나머지가 3x+1이므로. 정리에 의해. xÜ`+ax+b=(xÛ`+3x+2)Q(x)+3x+1. g(4)-2_4=5. xÜ`+ax+b=(x+1)(x+2)Q(x)+3x+1. …y ㉠. g(4)=13. ㉠은 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=-1을 대입하면. 따라서 다항식 f(x)g(x)를 x-4로 나누었을 때의 나머지는. -1-a+b=-2. 나머지정리에 의해. a-b=1. yy ㉡. f(4)g(4)=3_13=39  39. ㉠의 양변에 x=-2를 대입하면 -8-2a+b=-5 2a-b=-3. yy ㉢. ㉡, ㉢을 연립하여 풀면. 07 다항식 f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+6을 x-1로 나누었을 때 의 나머지가 3이므로 나머지정리에 의해. a=-4, b=-5. f(1)=1+a+b+6=3. 따라서 a+b=-9. a+b=-4  -9. yy ㉠. f(x)가 x+2로 나누어떨어지므로 인수정리에 의해. 정답과 풀이. (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 7. 7. 2017-11-01 오전 10:39:35.

(8) 정답과 풀이 f(-2)=-8+4a-2b+6=0. b=0 yy ㉡. 2a-b=1 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=-3이므로. 또, r=a_2=;2!;_2=1이고, -1+r=-1+1=c이므로 c=0. ab=(-1)_(-3)=3 ③. 따라서 a+b+c=;2!;+0+0=;2!; ①. 08 f(x)=xÜ`-3xÛ`+kx+4가 x+2로 나누어떨어지므로 인수정리에 의해. 11 다항식 xÝ`+axÛ`+1을 x+1로 나누었을 때의 몫 Q(x)를. f(-2)=-8-12-2k+4=0. 조립제법을 이용하여 구하면. k=-8이므로. -1. f(x)=xÜ`-3xÛ`-8x+4. 1. 따라서 f(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의해. 1. f(2)=8-12-16+4=-16  -16. 09 다항식 f(x-2)가 x+1로 나누어떨어지므로 인수정리 에 의해. 0. a. 0. 1. -1. 1. -a-1. a+1. -1. a+1. -a-1. a+2. Q(x)=xÜ`-xÛ`+(a+1)x-a-1 이때 Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지가 2이므로 나머지 정리에 의해 Q(-1)=-1-1-(a+1)-a-1=2 즉, -2a-4=2이므로 a=-3이다.. f(-1-2)=f(-3)=0. ③. 다항식 f(x+2)가 x-1로 나누어떨어지므로 인수정리에 의해 f(1+2)=f(3)=0. 12 f(x)=a(x-1)Ü`+b(x-1)Û`+c(x-1)+d로 놓으면. 따라서 f(x)=xÜ`+2xÛ`+ax+b에서. f(x)=(x-1){a(x-1)Û`+b(x-1)+c}+d. f(-3)=-27+18-3a+b=0 yy ㉠. -3a+b=9 f(3)=27+18+3a+b=0. yy ㉡. 3a+b=-45. 이므로 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 몫은 a(x-1)Û`+b(x-1)+c이고 나머지는 d이다. 1. 1. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-9, b=-18이므로 a+b=-9-18=-27  -27. 10 a. 2. 2. 3. b. -1. p. q. r. 4. 2. c. 위의 조립제법에서 3+p=4이므로 p=1. 1. 1. 1. 1. -1. -3. 4. 1. 0. -3. 0. -3. 1. 1. 1. 1=d. -2=c. 1 1=a. 2=b. 첫 번째 조립제법에서 a(x-1)Û`+b(x-1)+c=xÛ`-3이고 d=1 또, a(x-1)Û`+b(x-1)+c=(x-1){a(x-1)+b}+c이. 이때 2a=p=1이므로. 므로 xÛ`-3을 x-1로 나누었을 때의 몫은 a(x-1)+b이고. a=;2!;. 나머지는 c이다.. 또, q=a_4=;2!;_4=2이고, b+q=b+2=2이므로. 8. 두 번째 조립제법에서 a(x-1)+b=x+1이고 c=-2. 올림포스•수학 (상). (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 8. 2017-11-01 오전 10:39:36.

(9) 또, a(x-1)+b=x+1에서. 단계. 채점 기준. 비율. a=1, b=2. ➊. 나머지정리를 활용한 경우. 30`%. 따라서 a=1, b=2, c=-2, d=1이므로. ➋. f(x-2)를 몫과 나머지로 나타낸 경우. 40`%. abcd=-4. ➌. a의 값을 구한 경우. 30`%.  -4. 03 다항식 f(x)를 xÛ`-x+1로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 4x+2이므로 f(x)=(xÛ`-x+1)Q(x)+4x+2. 서술형. 연습장. 01 1. 본문 20쪽. 02 6. 03 2xÛ`+2x+4. yy ➋. (-1)Û`â`+(-1)Ú`â`+(-1)Þ`+1=(-1-1)Q(-1)+4 2=-2Q(-1)+4 따라서 Q(-1)=1이므로 Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 나 yy ➌ 1. yy ➍. 이다.. 단계. 채점 기준. 비율. ➊. f(x)를 Q(x)로 나누었을 때의 몫과 나머지로 나타낸 경우. 30`%. ➋. Q(x)를 몫과 나머지로 나타낸 경우. 30`%. ➌. f(x)를 Q ‘(x)로 나누었을 때의 몫과 나머지 로 나타낸 경우. 30`%. ➍. 나머지를 구한 경우. 10`%. 비율. ➊. f(x)를 몫과 나머지로 나타낸 경우. 30`%. ➋. R의 값을 구한 경우. 30`%. ➌. Q(x)를 x+1로 나눈 나머지를 구한 경우. 40`%. 02 f(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지가 8이므로 나머지 정리에 의해 f(-1)=8. yy ➊. 내신. 01 ④. +. 수능. 고난도 문항. 01 (2xÛ`-3x-1)Ü`=a¤xß`+a°xÞ`+y+aÁx+a¼ 은 x에 대한 항등식이다.. 머지가 ax+2이므로. ㉠에 x=1을 대입하면. f(x-2)=(x-1)Û` Q(x)+ax+2 yy ㉠ yy ➋. (2_1Û`-3_1-1)Ü`=a¤+a°+y+aÁ+a¼. ㉠에 x=1을 대입하면. a¼+aÁ+y+a°+a¤=-8. f(-1)=a+2. ㉠에 x=-1을 대입하면. 이때 f(-1)=8이므로 a+2=8에서. {2_(-1)Û`+3-1}Ü`=a¤-a°+y-aÁ+a¼ yy ➌ 6. 본문 21쪽. 02 6xÛ`-11x+1 03 ①. f(x-2)를 (x-1)Û`으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나. a=6. yy ➌. =(xÜ`+1)Q'(x)+2xÛ`+2x+4.  2xÛ`+2x+4. 양변에 x=-1을 대입하면. 채점 기준. f(x)=(xÛ`-x+1){(x+1)Q'(x)+2}+4x+2 따라서 f(x)를 xÜ`+1로 나누었을 때의 나머지는 2xÛ`+2x+4. 즉, xÛ`â`+xÚ`â`+xÞ`+1=(x-1)Q(x)+4이므로 이 항등식의. 단계. yy ➋. yy ➊. 이때 f(1)=R이고 f(1)=1Û`â`+1Ú`â`+1Þ`+1=4이므로. 머지는 나머지정리에 의해 1이다.. yy ㉡. ㉠, ㉡에서. 었을 때의 나머지를 R라 하면. R=4. yy ➊. Q'(x)라 하면 Q(x)=(x+1)Q'(x)+2. 01 `f(x)=xÛ`â`+xÚ`â`+xÞ`+1이라 하고 f(x)를 x-1로 나누 f(x)=(x-1)Q(x)+R. yy ㉠. 이때 Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 2이므로 몫을. a¼-aÁ+aª-y-a°+a¤=64. yy ㉠. yy ㉡. yy ㉢. ㉡+㉢에서 2(a¼+aª+a¢+a¤)=56이므로. 정답과 풀이. (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 9. 9. 2017-11-01 오전 10:39:36.

(10) 정답과 풀이 Ⅰ. 다항식. a¼+aª+a¢+a¤=28 ④. 03. 02 다항식 f(x)를 (x-1)Û`(x-2)로 나누었을 때의 몫을. 인수분해. 기본 유형 익히기. Q(x), 나머지를 R(x)라 하면 f(x)=(x-1)Û`(x-2)Q(x)+R(x). 본문 24~25쪽. 유제. 1. ⑴ (x-y-5z)Û` ⑵ (x+y)(x-y)Û` 2. ⑴ (x+1)Û`(xÛ`+2x+3). 이때 f(x)를 (x-1)Û`으로 나누었을 때의 나머지가 x-5이고, R(x)는 이차 이하의 다항식이므로 R(x)를 (x-1)Û`으로 나. ⑵ (xÛ`-4x+5)(xÛ`+4x+5). 누었을 때의 나머지가 x-5이어야 한다.. 3. 4. (x+1)(x-2)(xÛ`+x+1) (aÛ`+bÛ`)(a+b+1). R(x)=a(x-1)Û`+x-5(a는 상수)로 놓으면 f(x)=(x-1)Û`(x-2)Q(x)+a(x-1)Û`+x-5 한편 f(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 3이므로 나머지 정리에 의해. 1.. ⑴ xÛ`+yÛ`+25zÛ`-2xy+10yz-10zx. =xÛ`+(-y)Û`+(-5z)Û`+2x(-y)+2(-y)(-5z). f(2)=a-3=3. . 따라서 a=6이므로 구하는 나머지는. +2(-5z)x =(x-y-5z)Û`. R(x)=6(x-1)Û`+x-5=6xÛ`-11x+1  6xÛ`-11x+1. ⑵ xÜ`+yÜ`-xy(x+y)=(x+y)(xÛ`-xy+yÛ`)-xy(x+y) =(x+y)(xÛ`-xy+yÛ`-xy). =(x+y)(xÛ`-2xy+yÛ`) . 03 A, B, C, D의 부피는 각각 xÜ`, 2xÛ`, 4x, 2Ü`이므로 . =(x+y)(x-y)Û`. A 1개, B 12개, C p개, D q개의 부피의 총합은.  ⑴ (x-y-5z)Û` ⑵ (x+y)(x-y)Û`. xÜ`+12_2xÛ`+p_4x+q_2Ü`=xÜ`+24xÛ`+4px+8q 한편 한 모서리의 길이가 x+k인 정육면체의 부피는. 2.. (x+k)Ü`=xÜ`+3kxÛ`+3kÛ`x+kÜ` 이때 등식 xÜ`+24xÛ`+4px+8q=xÜ`+3kxÛ`+3kÛ`x+kÜ`이 x에. ⑴ xÛ`+2x=X로 놓으면. (xÛ`+2x)Û`+4xÛ`+8x+3=(xÛ`+2x)Û`+4(xÛ`+2x)+3. 대한 항등식이므로. =XÛ`+4X+3. 24=3k, 4p=3kÛ`, 8q=kÜ`. =(X+1)(X+3). 따라서 k=8, p=48, q=64이므로. =(xÛ`+2x+1)(xÛ`+2x+3) =(x+1)Û`(xÛ`+2x+3). k+p+q=8+48+64=120 ①. ⑵ xÝ`-6xÛ`+25=(xÝ`+10xÛ`+25)-16xÛ` =(xÛ`+5)Û`-(4x)Û`. =(xÛ`+5-4x)(xÛ`+5+4x). =(xÛ`-4x+5)(xÛ`+4x+5)  ⑴ (x+1)Û`(xÛ`+2x+3) ⑵ (xÛ`-4x+5)(xÛ`+4x+5). 3.. aÛ`+bÛ`+(aÜ`+bÜ`)+ab(a+b). =aÛ`+bÛ`+(a+b)(aÛ`-ab+bÛ`)+ab(a+b) =aÛ`+bÛ`+(a+b){(aÛ`-ab+bÛ`)+ab} =aÛ`+bÛ`+(a+b)(aÛ`+bÛ`) =(aÛ`+bÛ`)(a+b+1)  (aÛ`+bÛ`)(a+b+1). 10. 올림포스•수학 (상). (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 10. 2017-11-01 오전 10:39:36.

(11) 4.. 03 aÛ`-8bÛ`+cÛ`+2ab-2bc-2ca. f(x)=xÝ`-2xÛ`-3x-2라 하면. f(-1)=1-2+3-2=0,. =aÛ`+bÛ`+cÛ`+2ab-2bc-2ca-9bÛ`. f(2)=16-8-6-2=0. =(a+b-c)Û`-(3b)Û`. 이므로 f(x)는 x+1, x-2를 인수로 갖는다.. ={(a+b-c)+3b}{(a+b-c)-3b}. -1. 2. 1. 1. 0. -2. -3. -2. -1. 1. 1. 2. -1. -1. -2. 0. 2. 2. 2. 1. 1. 0. 1. =(a+4b-c)(a-2b-c)  (a+4b-c)(a-2b-c). 04 xÛ`-x=X로 놓으면. (xÛ`-x)Û`+3xÛ`-3x-10=(xÛ`-x)Û`+3(xÛ`-x)-10. =XÛ`+3X-10=(X+5)(X-2). 따라서 위의 조립제법에 의하여. =(xÛ`-x+5)(xÛ`-x-2). xÝ`-2xÛ`-3x-2=(x+1)(x-2)(xÛ`+x+1). =(xÛ`-x+5)(x-2)(x+1).  (x+1)(x-2)(xÛ`+x+1). 따라서 a=-1, b=5, c=-2, d=1 또는 a=-1, b=5, c=1, d=-2이므로 a+b+c+d=3. 유형 확인. ③ 본문 26~27쪽. 01 270 02 ② 03 (a+4b-c)(a-2b-c) 04 ③ 05 ① 06 (xÛ`+5x+5)Û` 07 ⑤ 08 a+b, b+c, a=c인 이등변삼각형 09 17 10 ④ 11 ⑴ (3x-1)(xÛ`+x+1) ⑵ (x-1)Û`(x+2)(x-3) 12 ④. 05 xÛ`=X, yÛ`=Y로 놓으면 3xÝ`-11xÛ`yÛ`-4yÝ`=3XÛ`-11XY-4YÛ`. =(3X+Y)(X-4Y). =(3xÛ`+yÛ`)(xÛ`-4yÛ`). =(3xÛ`+yÛ`)(x-2y)(x+2y) 따라서 a=1, b=2이므로 a+b=1+2=3 ①. 01 a=28이므로 인수분해 공식에 의해 N=aÜ`+6aÛ`+12a+8=(a+2)Ü`. 06 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1. =(28+2)Ü`=30Ü`=27000. ={(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)}+1. N 따라서 =270 100. =(xÛ`+5x+4)(xÛ`+5x+6)+1 이때 xÛ`+5x=X로 놓으면  270. 02 3x+y=a, 3y=b라 하면. =XÛ`+10X+25 =(X+5)Û`. (3x+y)Ü`-27yÜ`. =(xÛ`+5x+5)Û`. =aÜ`-bÜ` =(a-b)(aÛ`+ab+bÛ`). 따라서. =(3x+y-3y){(3x+y)Û`+(3x+y)_3y+9yÛ`}. (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(xÛ`+5x+5)Û`  (xÛ`+5x+5)Û`. =(3x-2y)(9xÛ`+15xy+13yÛ`) 따라서 p=15, q=13이므로. 다른풀이. (xÛ`+5x+4)(xÛ`+5x+6)+1에서 xÛ`+5x+4=Y로 놓으면. pq=15_13=195 ②. (xÛ`+5x+4)(xÛ`+5x+6)+1=Y(Y+2)+1 . 정답과 풀이. (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 11. (xÛ`+5x+4)(xÛ`+5x+6)+1=(X+4)(X+6)+1. 11. 2017-11-01 오전 10:39:36.

(12) 정답과 풀이 =YÛ`+2Y+1. =(Y+1)Û`. 09 aÛ`b+2ab-2aÛ`-4a+b-2를 b에 대하여 내림차순으로 정리하여 인수분해하면. =(xÛ`+5x+5)Û`. (aÛ`+2a+1)b-2(aÛ`+2a+1)=(a+1)Û`b-2(a+1)Û`. =(a+1)Û`(b-2) 위의 식의 값이 275=5Û`_11이므로. 07. 4xÛ`+yÛ`-4xy-2x+y-6. (a+1)Û`(b-2)=5Û`_11. =(4xÛ`-4xy+yÛ`)-(2x-y)-6. a, b는 자연수이므로. =(2x-y)Û`-(2x-y)-6. a+1=5, b-2=11. 이때 2x-y=X로 놓으면. 따라서 a=4, b=13이므로. (2x-y)Û`-(2x-y)-6=XÛ`-X-6 =(X-3)(X+2). a+b=4+13=17.  17. =(2x-y-3)(2x-y+2) 즉,. 10 f(x)=2xÜ`-11xÛ`+20x-12라 하면. 4xÛ`+yÛ`-4xy-2x+y-6=(2x-y-3)(2x-y+2). f(2)=16-44+40-12=0. 따라서 주어진 다항식의 인수인 것은 ⑤ 2x-y-3이다. ⑤ 다른풀이. 이므로 f(x)는 x-2를 인수로 갖는다. 조립제법을 이용하여 인수분해하면 2. 주어진 식을 y에 대한 내림차순으로 정리하면 yÛ`-(4x-1)y+4xÛ`-2x-6. 2. 2. =yÛ`-(4x-1)y+2(2xÛ`-x-3). -11. 20. -12. 4. -14. 12. -7. 6. 0. =yÛ`-(4x-1)y+2(x+1)(2x-3). 이때 2xÛ`-7x+6=(x-2)(2x-3)이므로. =(y-2x-2)(y-2x+3). f(x)=(x-2)(2xÛ`-7x+6)=(x-2)Û`(2x-3). =(2x-y+2)(2x-y-3). 따라서 a=-2, b=2, c=-3이므로 a+b+c=-2+2+(-3)=-3 ④. 08 조건 (가)에서 (b-c)a+bc-bÛ`=(b-c)a-b(b-c). 11 ⑴ f(x)=3xÜ`+2xÛ`+2x-1이라 하면. =(b-c)(a-b)+0. f {;3!;}=;9!;+;9@;+;3@;-1=0. 이므로 yy ㉠. b+c, a+b 조건 (나)에서. 이므로 f(x)는 x-;3!;을 인수로 갖는다. 따라서 조립제법을 이용하여 인수분해하면. (b-c)aÛ`-(bÛ`-cÛ`)a+bÛ`c-cÛ`b. ;3!;. =(b-c)aÛ`-(b-c)(b+c)a+bc(b-c) =(b-c){aÛ`-(b+c)a+bc}. 3. =(b-c)(a-b)(a-c) 3. (b-c)(a-b)(a-c)=0이므로 a=b 또는 b=c 또는 c=a. yy ㉡. 2. 2. -1. 1. 1. 1. 3. 3. 0. 따라서 ㉠, ㉡에서 주어진 삼각형은 a+b, b+c, a=c인 이등. f(x)={x-;3!;}(3xÛ`+3x+3)=(3x-1)(xÛ`+x+1). 변삼각형이다.. ⑵ f(x)=xÝ`-3xÜ`-3xÛ`+11x-6이라 하면  a+b, b+c, a=c인 이등변삼각형. 12. f(1)=1-3-3+11-6=0. 올림포스•수학 (상). (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 12. 2017-11-01 오전 10:39:36.

(13) 이므로 f(x)는 x-1을 인수로 갖는다.. f(2)+g(2)=(2+2)(2+1)+(2+2)(2-3) . 조립제법을 이용하여 인수분해하면 1. 1. 1. =12-4=8. -3. -3. 11. -6. 1. -2. -5. 6. -2. -5. 6. 0. ④. 서술형. 따라서 f(x)=(x-1)(xÜ`-2xÛ`-5x+6) 이때 g(x)=xÜ`-2xÛ`-5x+6이라 하면 이므로 g(x)는 x-1을 인수로 갖는다. 다시 조립제법을 이용하여 인수분해하면 1. 1. 본문 28쪽. 01 1084 03 a=-14, b=-2. g(1)=1-2-5+6=0. 1. 연습장. -2. -5. 6. 1. -1. -6. -1. -6. 0. 02 (a+b)(b+c)(a+c). 01 30=x로 놓으면. ‘Ä30_32_34_36+16. yy ➊. =’Äx(x+2)(x+4)(x+6)+16 =’Ä{x(x+6)}{(x+2)(x+4)}+16 =¿¹(xÛ`+6x)(xÛ`+6x+8)+16. 따라서 f(x)=(x-1)Û`(xÛ`-x-6)=(x-1)Û`(x+2)(x-3)  ⑴ (3x-1)(xÛ`+x+1) ⑵ (x-1)Û`(x+2)(x-3). 이때 xÛ`+6x=X라 하면. “Ã(xÛ`+6x)(xÛ`+6x+8)+16=’ÄX(X+8)+16 =”ÃXÛ`+8X+16 =”Ã(X+4)Û` =|X+4| =X+4=xÛ`+6x+4 yy ➋ =30Û`+6_30+4=1084 이므로. 12 h(x)=xÝ`+2xÜ`-7xÛ`-20x-12라 하자. h(-1)=0, h(-2)=0이므로 인수정리에 의해 h(x)는 x+1과 x+2를 인수로 가진다. -1. -2. 1. 1. 1. 2. 단계. -7. -20.  1084. 채점 기준. 비율. ➊. 주어진 식을 x에 관한 식으로 나타낸 경우. 30`%. ➋. 다항식을 인수분해한 경우. 40`%. ➌. 주어진 식의 값을 구한 경우. 30`%. -1. -1. 8. 12. 1. -8. -12. 0. -2. 2. 12. -1. -6. 0. h(x)=(x+1)(x+2)(xÛ`-x-6). yy ➌. -12. 위의 조립제법을 이용하여 h(x)를 인수분해하면. =(x+1)(x+2)(x+2)(x-3) =(x+1)(x-3)(x+2)Û` 이때 f(x)와 g(x)가 모두 x-a를 인수로 가져야 하므로 f(x)=(x+2)(x-3) f(x)=(x+2)(x+1) 또는 [ [ g(x)=(x+2)(x-3) g(x)=(x+2)(x+1) 따라서. ‘Ä30_32_34_36+16=1084. 02 (b+c)aÛ`+(bÛ`+2bc+cÛ`)a+bÛ`c+bcÛ` =(b+c)aÛ`+(b+c)Û`a+bc(b+c) =(b+c){aÛ`+(b+c)a+bc}. yy ➊. =(b+c)(a+b)(a+c) =(a+b)(b+c)(a+c). yy ➋  (a+b)(b+c)(a+c). 단계. 채점 기준. 비율. ➊. 공통인수를 찾은 경우. 50`%. ➋. 다항식을 인수분해한 경우. 50`%. 정답과 풀이. (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 13. 13. 2017-11-01 오전 10:39:36.

(14) 정답과 풀이. 03 xÜ`-2xÛ`+4x-8을 인수분해하면. -2. 2. a. 2a+4. 24. -4. -2a+8. -24. a-4. 12. 0. xÜ`-2xÛ`+4x-8=xÛ`(x-2)+4(x-2)=(x-2)(xÛ`+4) xÜ`-2xÛ`+4x-8이 일차식 x+b( b는 정수)를 인수로 가지므로 yy ➊. b=-2. f(x)=xÜ`+3x+a라 할 때, f(x)가 일차식 x-2를 인수로 가지므로 인수정리에 의해. 위의 조립제법에서 2xÜ`+axÛ`+(2a+4)x+24=(x+2){2xÛ`+(a-4)x+12} 이때 2xÜ`+axÛ`+(2a+4)x+24가 계수가 모두 정수인 세 개. f(2)=2Ü`+3_2+a=0, 14+a=0 yy ➋. 따라서 a=-14.  a=-14, b=-2 단계. 2. 채점 기준. 비율. ➊. b의 값을 구한 경우. 50`%. ➋. a의 값을 구한 경우. 50`%. 의 일차식으로 인수분해되므로 2xÛ`+(a-4)x+12=(2x+m)(x+n)(m, n은 정수) 즉, 2xÛ`+(a-4)x+12=2xÛ`+(m+2n)x+mn에서 a-4=m+2n, 12=mn이어야 한다. mn=12를 만족시키는 두 정수 m, n의 순서쌍 (m, n)은 (12, 1), (6, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 6), (1, 12), (-1, -12), (-2, -6), (-3, -4), (-4, -3), (-6, -2), (-12, -1) 의 12개이다. 위의 각 순서쌍에 대하여 정수 a(=m+2n+4) 의 값을 구해 보면 차례로 18, 14, 14, 15, 18, 29, -21, -10, -7, -6, -6, -10 이다. 따라서 정수 a는 -21, -10, -7, -6, 14, 15, 18, 29의 8. 내신. +. 개이다.. 수능. 01 16. 고난도 문항. 02 ②. ②. 본문 29쪽. 03 ③. 03 조건 (가)에서. 01. (xÛ`-4x+3)(xÛ`-12x+35)+k. (a-b)cÛ`+(2aÛ`-ab-bÛ`)c+aÜ`-abÛ`. =(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+k. =(a-b)cÛ`+(a-b)(2a+b)c+a(a-b)(a+b). ={(x-1)(x-7)}{(x-3)(x-5)}+k. =(a-b){cÛ`+(2a+b)c+a(a+b)}. =(xÛ`-8x+7)(xÛ`-8x+15)+k. =(a-b)(c+a)(c+a+b). 이때 xÛ`-8x=X로 치환하면. =0. (xÛ`-8x+7)(xÛ`-8x+15)+k=(X+7)(X+15)+k. 이때 a, b, c는 삼각형의 세 변의 길이이므로. =XÛ`+22X+105+k. c+a>0, c+a+b>0. =(X+11)Û`+k-16. 따라서 a=b이다.. =(xÛ`-8x+11)Û`+k-16. 조건 (나)에서 4a+2b-5c=4a+2a-5c=0이므로. 이때 주어진 식이 x에 대한 이차식의 완전제곱꼴로 인수분해되 려면 k-16=0이어야 하므로 k=16이다.  16. 02. f(x)=2xÜ`+axÛ`+(2a+4)x+24라 하면. 6a=5c, c=;5^; a 즉, 삼각형 ABC는 세 변의 길이가 각 각 a, a, ;5^;a인 이등변삼각형이다. . f(-2)=-16+4a-4a-8+24=0. 이때 밑변의 길이가 ;5^;a인 삼각형 . 이므로 다항식 f(x)는 x+2를 인수로 갖는다.. ABC의 높이를 h라 하면 피타고라스. 14. A a. B. h. 3 a 5. a. C. 올림포스•수학 (상). (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 14. 2017-11-01 오전 10:39:37.

(15) 02 (x+y)Û`=xÛ`+2xy+yÛ`=(xÛ`+xy+yÛ`)+xy. 정리에 의해. “Ã25aÛ`-9aÛ` h=¾¨aÛ`-{;5#;a}2`= =;5$;a 5. 3Û`=10+xy에서 xy=-1이므로 xÜ`+yÜ`=(x+y)Ü`-3xy(x+y)=3Ü`-3_(-1)_3=36. 이므로 삼각형 ABC의 넓이는. ⑤. ;2!;_;5^;a_;5$;a=;2!5@;aÛ`=48. 03 (a-2)(a+2)(aÛ`-2a+4)(aÛ`+2a+4). 에서 aÛ`=100, 즉 a=10이다. 따라서 삼각형 ABC의 세 변의 길이는 각각 a=10, b=10, c=12이므로 둘레의 길이는 a+b+c=10+10+12=32 ③. =(aÜ`+2Ü`)(aÜ`-2Ü`). =(10+8)(10-8). =36  36. 04 주어진 등식은 xÜ`+axÛ`+3x+1=(x-1)(x+1)P(x)+bx. 대단원 종합 문제. ={(a+2)(aÛ`-2a+4)}{(a-2)(aÛ`+2a+4)} . yy ㉠. ㉠의 양변에 x=1을 대입하면. 본문 30~33쪽. a+5=b, a-b=-5. 01 5xÛ`-7x+10 02 ⑤ 03 36 04 ② 05 ① 06 ④ 07 (x-5)Ü` 08 (x+a)(x+2a)(x-2a) 09 ④ 10 8 11 ⑤ 12 -7x-8 13 ① 14 17 ① ⑤ ① 15 16 17 18 46 19 4 20 ③ 21 ② 22 8 23 ② 24 xÜ`-2xÛ`-4x+11 25 3(x+y)(y+z)(z+x). yy ㉡. ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면 a-3=-b, a+b=3. yy ㉡. ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=-1, b=4 따라서 주어진 등식은 xÜ`-xÛ`+3x+1=(xÛ`-1)P(x)+4x a+b=3이므로 위 등식에 x=3을 대입하면 3Ü`-3Û`+3_3+1=(3Û`-1)P(3)+4_3. 01. (A★B)A=(A-2B)A. 28=8P(3)+12. =2(A-2B)-A=A-4B =xÛ`-3x+2-4(-xÛ`+x-2). 따라서 P(3)=2. ②. =xÛ`-3x+2+4xÛ`-4x+8 =5xÛ`-7x+10  5xÛ`-7x+10. 05 f(x)를 x-2로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 4 이므로 f(x)=(x-2)Q(x)+4. 다른풀이. A★B=A-2B . Q(x)를 x+3으로 나누었을 때의 나머지는 3이므로 나머지정. =(xÛ`-3x+2)-2(-xÛ`+x-2) =xÛ`-3x+2+2xÛ`-2x+4. yy ㉠. 리에 의해 Q(-3)=3 따라서. =3xÛ`-5x+6 이므로. f(-3)=(-3-2)Q(-3)+4=(-5)_3+4=-11. (A★B)A=(3xÛ`-5x+6)(xÛ`-3x+2). =2(3xÛ`-5x+6)-(xÛ`-3x+2) =6xÛ`-10x+12-xÛ`+3x-2. 이므로 xf(x)를 x+3으로 나누었을 때의 나머지는 나머지정 리에 의해 (-3)_f(-3)=(-3)_(-11)=33 ①. =5xÛ`-7x+10. 정답과 풀이. (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 15. 15. 2017-11-01 오전 10:39:37.

(16) 정답과 풀이. 06 27xÜ`+64yß`=(3x)Ü`+(4yÛ`)Ü`. 즉, f(x)=g(x)_x+x이므로 f(x)를 g(x)로 나누었을. 때의 몫은 Q(x)=x, 나머지는 R(x)=x이다.. =(3x+4yÛ`)(9xÛ`-12xyÛ`+16yÝ`) 이때 9xÛ`-12xyÛ`+16yÝ`은 정수 계수 범위에서 더 이상 인수분. 그런데 xÜ`+x=x(xÛ`+1)이므로 f(x)를 Q(x)=x로 나 누었을 때의 몫은 xÛ`+1, 나머지는 0이다.. 해되지 않으므로. ㄷ. f(x)-Q(x)=g(x)Q(x)+R(x)-Q(x) . p=-12, q=16. ={ g(x)-1}Q(x)+R(x). 따라서. 이때 R(x)의 차수는 g(x)-1의 차수보다 작으므로 . p+q=-12+16=4 ④. f(x)-Q(x)를 g(x)-1로 나누었을 때의 나머지는 R(x) 이다. 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.. 07 x-7=X라 하면. ④. (x-7)Ü`+6(x-7)Û`+12(x-7)+8 =XÜ`+6XÛ`+12X+8. 10 P(x)를 x-2로 나눈 몫이 Q(x), 나머지가 5이므로. =XÜ`+3_XÛ`_2+3_X_2Û`+2Ü`. yy ㉠. P(x)=(x-2)Q(x)+5. =(X+2)Ü`=(x-7+2)Ü`=(x-5)Ü`  (x-5)Ü`. 또한 Q(x)를 x-1로 나눈 몫을 QÁ(x)라 하면 나머지가 3이 므로 yy ㉡. Q(x)=(x-1)QÁ(x)+3. 08 xÜ`+axÛ`-4aÛ`x-4aÜ`=xÛ`(x+a)-4aÛ`(x+a). =(x+a)(xÛ`-4aÛ`) =(x+a)(x+2a)(x-2a)  (x+a)(x+2a)(x-2a). ㉡을 ㉠에 대입하면 P(x)=(x-2){(x-1)QÁ(x)+3}+5. =(x-2)(x-1)QÁ(x)+3x-1 따라서 R(x)=3x-1이므로 R(3)=3_3-1=8. 다른풀이. 8. f(x)=xÜ`+axÛ`-4aÛ`x-4aÜ`이라 하자. f(-a)=0이므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면 -a. 1. 1. a. -4aÛ` -4aÜ`. -a. 0`. 4aÜ`. 0. -4aÛ`. 0. f(x)=xÜ`+axÛ`-4aÛ`x-4aÜ` =(x+a)(xÛ`-4aÛ`). =(x+a)(x-2a)(x+2a). 11 f(x)를 2x+1로 나누었을 때의 나머지가 16이므로 나머 지정리에 의해 f {-;2!;}=16 (x-1)Û` f(x)를 2x+1로 나누었을 때의 나머지를 R라 하면 나머지정리에 의해. R={-;2!;-1}2 f {-;2!;}=;4(;_16=36. (x-1)Û` f(x)를 2x+1로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지. 09 ㄱ. 다항식 f(x)를 g(x)로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 R(x)이므로. 는 36이므로 (x-1)Û` f(x)=(2x+1)Q(x)+36. yy ㉠. ㉠의 양변에 x=1을 대입하면. f(x)=g(x)Q(x)+R(x). 0=3_Q(1)+36. 이때 R(x)의 차수는 g(x)의 차수보다 작다.. 따라서 Q(1)=-12이므로 Q(x)를 x-1로 나누었을 때의 나. ㄴ. f(x)=xÜ`+x, g(x)=xÛ`이면. 머지는 나머지정리에 의해 -12이다.. xÜ`+x=xÛ`_x+x. 16. ⑤. 올림포스•수학 (상). (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 16. 2017-11-01 오전 10:39:37.

(17) 12 다항식 f(x)를 (x+2)Û`으로 나누었을 때의 몫을 Q(x) 라 하면 나머지가 2x+1이므로 f(x)=(x+2)Û`Q(x)+2x+1. 의 나머지는 0이고, ㉠의 몫을 x+1로 다시 나누었을 때의 나 머지도 0이어야 한다. -1. 1. xf(x)=x(x+2)Û`Q(x)+2xÛ`+x. =x(x+2)Û`Q(x)+2(xÛ`+4x+4)-7x-8 =x(x+2)Û`Q(x)+2(x+2)Û`-7x-8. -1. 1. =(x+2)Û`{xQ(x)+2}-7x-8 따라서 xf(x)를 (x+2)Û`으로 나누었을 때의 나머지는 . 1. -7x-8이다.  -7x-8. a. b. -4. -1. -a+1. a-b-1. a-1. -a+b+1. a-b-5. -1. -a+2. a-2. -2a+b+3. 위의 조립제법에서 xÜ`+axÛ`+bx-4를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 a-b-5이고, 이때의 몫 xÛ`+(a-1)x-a+b+1 을 x+1로 나누었을 때의 나머지는 -2a+b+3이다.. 13 f(x)=xÜ`-axÛ`-bx+9a, g(x)=xÛ`-b라 하자.. 다항식 xÜ`+axÛ`+bx-4가 (x+1)Û`으로 나누어떨어지려면 두. g(x)가 일차식 x-a로 나누어떨어지므로 인수정리에 의해. 등식 a-b-5=0, -2a+b+3=0이 모두 성립해야 한다.. g(a)=aÛ`-b=0. 위의 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=-7이므로. b=aÛ`. a+b=-9. yy ㉠. ①. 이때 f(x)=xÜ`-axÛ`-bx+9a가 xÛ`-b로 나누어떨어지므로 f(x)는 일차식 x-a로도 나누어떨어진다. 따라서 인수정리에 의해 f(a)=aÜ`-aÜ`-ab+9a. 16 xÜ`-xÛ`y-xyÛ`+yÜ`=xÛ`(x-y)-yÛ`(x-y) . =(x-y)(xÛ`-yÛ`). =-a(b-9)=0. =(x-y)Û`(x+y). 이때 a>0이므로 b=9. 이때 x=’5+’3, y=’3-‘5이므로. 따라서 ㉠에서 a=3 (a>0)이므로. x+y=2’3, x-y=2’5. a+b=3+9=12. 따라서 ①. xÜ`-xÛ`y-xyÛ`+yÜ`=(x-y)Û`(x+y) =(2’5)Û`_2’3=40’3 ⑤. 14 f(2x)=g(x)(x-2)+3에 x=2를 대입하면 f(4)=3 다항식 f(x)g(x-1)을 x-4로 나누었을 때의 나머지는 나머 지정리에 의해. 17 f(x)=3xÜ`+7xÛ`-4라 하면 f(-1)=-3+7-4=0이 므로 f(x)는 x+1을 인수로 갖는다.. f(4)g(4-1)=f(4) g(3)=3 g(3)=24 따라서 g(3)=8이므로 g(x)+xÛ`을 x-3으로 나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의해. 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면 -1. 3. g(3)+3Û`=8+9=17  17. 0. -4. -3. -4. 4. 4. -4. 0. f(x)=(x+1)(3xÛ`+4x-4)=(x+1)(x+2)(3x-2). 15. 다항식 xÜ`+axÛ`+bx-4가 (x+1)Û`을 인수로 가지려면. 나눗셈 (xÜ`+axÛ`+bx-4)Ö(x+1). 3. 7. 따라서 a=1, P(x)=3x-2이므로 P(a)=P(1)=3-2=1. yy ㉠. ①. 정답과 풀이. (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 17. 17. 2017-11-01 오전 10:39:37.

(18) 정답과 풀이. 18 f(x)를 x-9로 나누었을 때의 나머지는 f(9)이므로. 이므로 g(5)=k(5+1)(5-4)(5+3)=48k=96. f(9)=a_10Ü`+b_10Û`+c_10+d=2438 이때 a, b, c, d는 각각 10보다 작은 자연수이므로. k=2. a=2, b=4, c=3, d=8. 따라서 g(x)=2(x+1)(x-4)(x+3)이므로. f(x)=2(x+1)Ü`+4(x+1)Û`+3(x+1)+8. g(2)=2_3_(-2)_5=-60 ③. 따라서 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의해 f(1)=2_2Ü`+4_2Û`+3_2+8=16+16+6+8=46  46. 19 f(x)=xÛ`+ax+b라 하고 다항식 xÇ` f(x)를 (x+2)Û`으. 21 p(x)=xÜ`+3xÛ`-13x-15라 하면 p(-1)=-1+3+13-15=0 이므로 인수정리에 의해 다항식 p(x)는 x+1을 인수로 갖는다.. 로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나머지는 2n+1(x+2)이. -1. 1. 므로 xn f(x)=(x+2)Û`Q(x)+2n+1(x+2). yy ㉠. ㉠의 양변에 x=-2를 대입하면 (-2)n f(-2)=(-2+2)Û`Q(-2)+2n+1(-2+2)이므로 f(-2)=0 f(x)=xÛ`+ax+b=(x+2)(x-c)(c는 상수)로 놓을 수 있 으므로 n. n. n. x f(x)=x (xÛ`+ax+b)=x (x+2)(x-c). yy ㉡. 한편 ㉠에서 xn f(x)=(x+2){(x+2)Q(x)+2n+1}. yy ㉢. 이므로 ㉡, ㉢에서. -15. -1. -2. 15. 2. -15. 0. 위의 조립제법에서 xÜ`+3xÛ`-13x-15=(x+1)(xÛ`+2x-15). =(x+1)(x-3)(x+5) 다항식 f(x)를 x Ü`+3x Û`-13x-15로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 f(x)=(x+1)(x-3)(x+5)Q(x)+xÛ`+x 이므로 f(xÛ`)=(xÛ`+1)(xÛ`-3)(xÛ`+5)Q(xÛ`)+(xÛ`)Û`+xÛ`. yy ㉣. 그런데 n이 홀수일 때 (-2)n=-2n이므로 ㉣에서. +3 =(xÝ`-2xÛ`-3){(xÛ`+5)Q(xÛ`)+1}+3xÛ`+3 즉, 다항식 f(xÛ`)을 xÝ`-2xÛ`-3으로 나누었을 때의 나머지는. n+1. -2 (-2-c)=2. 3xÛ`+3이므로. -(-2-c)=2, 2+c=2. R(x)=3xÛ`+3. c=0이므로 f(x)=xÛ`+ax+b=(x+2)(x-c)에서. 따라서 R(2)=3_2Û`+3=15. xÛ`+ax+b=(x+2)x=xÛ`+2x. ②. 따라서 a=2, b=0이므로 aÛ`+bÛ`=4 4. 20 xÛ`-3x-4=(x+1)(x-4), x Û`+4x+3=(x+1)(x+3)이므로 조건 (가)에서 f(x)는. 22 h(x)=xÝ`+2xÜ`-7xÛ`-20x-12라 하자. h(-1)=0, h(-2)=0이므로 h(x)는 x+1과 x+2를 인수 로 가진다. -1. 1. x+1, x-4, x+3을 모두 인수로 가져야 한다. 즉, f(x) 중에서 가장 차수가 낮은 것은 삼차식이고, g(x)=k(x+1)(x-4)(x+3)(k는 0이 아닌 상수) 로 놓을 수 있다. 이때 조건 (나)에서 나머지정리에 의해 f(5)=96, 즉 g(5)=96. 18. =(xÝ`-2xÛ`-3)(xÛ`+5)Q(xÛ`)+(xÝ`-2xÛ`-3)+3xÛ`. 위 등식의 양변에 x=-2를 대입하면. n. -13. =(xÝ`-2xÛ`-3)(xÛ`+5)Q(xÛ`)+xÝ`+xÛ` . xn(x-c)=(x+2)Q(x)+2n+1 (-2)n(-2-c)=2n+1. 1. 3. -2. 1. 1. 2. -7. -20. -12. -1. -1. 8. 12. 1. -8. -12. 0. -2. 2. 12. -1. -6. 0. 올림포스•수학 (상). (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 18. 2017-11-01 오전 10:39:37.

(19) 위와 같이 조립제법을 이용하여 h(x)를 인수분해하면 h(x)=(x+1)(x+2)(xÛ`-x-6). 이 직육면체의 면 중에서 넓이가 가장 큰 면의 넓이는. (2x+3)(x+y)이므로 구하는 두 면의 넓이의 합은. =(x+1)(x+2)(x+2)(x-3) . 2(2x+3)(x+y)=4xÛ`+4xy+6x+6y. =(x+1)(x-3)(x+2)Û`. 따라서 xy의 계수는 4이다. ②. 따라서 f(x)g(x)=(x+1)(x-3)(x+2)Û ` 이므로 f(x), g(x)가 될 수 있는 경우는 다음과 같다. Úà. f(x)=(x+1)(x+2) . 24 삼차 다항식 P(x)-3은 (x-2)Û`으로 나누어떨어지므로. g(x)=(x-3)(x+2). P(x)-3=(x-2)Û`(ax+b)(단, a, b는 상수) y ㉠y ➊. Ûà. f(x)=(x-3)(x+2) . 로 놓을 수 있다.. g(x)=(x+1)(x+2). Üà. ㉠에 x=1을 대입하면. f(x)=(x+1)(x-3) . P(1)-3=a+b, 6-3=a+b. g(x)=(x+2)Û`. Ýà. f(x)=(x+2)Û`. ㉠에 x=3을 대입하면. g(x)=(x+1)(x-3)`. P(3)-3=3a+b, 8-3=3a+b. 위의 모든 경우에 대하여 조건 (가)를 만족시키는 실수 a는 yy ㉠. -2, -1, 3 의 3개가 존재한다.. yy ㉢. 3a+b=5 ㉡, ㉢을 연립하여 풀면. yy ➋. a=1, b=2. 그런데 Ú 또는 Û인 경우에는 f(x)+g(x)=(x+2){(x+1)+(x-3)}. yy ㉡. a+b=3. 따라서 P(x)-3=(x-2)Û`(x+2)이므로. P(x)=(x-2)Û`(x+2)+3 . =2(x+2)(x-1). =(xÛ`-4x+4)(x+2)+3. 이므로 ㉠ 중에서 (나)를 만족시키는 실수 a는 -2의 한 개가. yy ➌. =xÜ`-2xÛ`-4x+11. 존재한다..  xÜ`-2xÛ`-4x+11. 한편 Ü 또는 Ý인 경우에는. 단계. f(x)+g(x)=(x+1)(x-3)+(x+2)Û`=2xÛ`+2x+1 이므로 ㉠ 중에서 (나)를 만족시키는 실수 a는 존재하지 않는 다. 따라서 f(x)+g(x)=2(x+2)(x-1)이므로. 채점 기준. 비율. ➊. P(x)-3=(x-2)Û`(ax+b)로 놓은 경우. 30`%. ➋. a, b의 값을 구한 경우. 40`%. ➌. P(x)를 내림차순으로 나타낸 경우. 30`%. f(-3)+g(-3)=2(-3+2)(-3-1)=8 8. 23 2xÜ`+(2y+5)xÛ`+(5y+3)x+3y를 y에 대한 내림차순. 25 y+z=w라 하면 (x+y+z)Ü`=(x+w)Ü` =xÜ`+wÜ`+3xw(x+w). 으로 정리하여 인수분해하면. =xÜ`+(y+z)Ü`+3x(y+z)(x+y+z). (2xÛ`+5x+3)y+2xÜ`+5xÛ`+3x. =xÜ`+yÜ`+zÜ`+3yz(y+z)+3x(y+z)(x+y+z) yy ➊. =(2xÛ`+5x+3)y+x(2xÛ`+5x+3). 이므로. =(2xÛ`+5x+3)(x+y). (x+y+z)Ü`-xÜ`-yÜ`-zÜ`. =(x+1)(2x+3)(x+y). =3yz(y+z)+3x(y+z)(x+y+z). 즉, 이 직육면체의 세 모서리의 길이는 x+1, 2x+3, x+y이. =3(y+z)(yz+xÛ`+xy+xz). 다.. =3(y+z){xÛ`+(y+z)x+yz}. 이때 x>1, y>1이므로 세 모서리의 길이 중 가장 작은 것은. =3(y+z)(x+y)(x+z). x+1이다.. =3(x+y)(y+z)(z+x). yy ➋. yy ➌. 정답과 풀이. (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 19. 19. 2017-11-01 오전 10:39:38.

(20) 정답과 풀이 Ⅱ. 방정식과 부등식.  3(x+y)(y+z)(z+x) 단계. 채점 기준. 비율. ➊. (x+y+z)Ü`을 전개한 경우. 30`%. ➋. 주어진 식을 전개한 경우. 30`%. ➌. 주어진 식을 인수분해한 경우. 40`%. 04. 복소수와 이차방정식. 기본 유형 익히기. 유제. 1. ⑤ 2. ② 5. ⑴ 11 ⑵ -36. 1.. 본문 37~39쪽. 3. 416 4. 3 6. 3xÛ`-x+2=0. (x-1)+x(x-3)i=y에서. 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 x-1=y, x(x-3)=0 x(x-3)=0에서 x=0 또는 x=3 x=0이면 y=-1 x=3이면 y=2 y>0에서 x=3, y=2이므로 x+y=3+2=5 ⑤. 2.. 복소수 a의 (허수부분)=0 a=a에서 ® b®=-b에서 복소수 b의 (실수부분)=0. 즉, 실수 a, b에 대하여 a=a, b=bi꼴로 나타나므로 a+b=2+3i에서 a+bi=2+3i 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 a=2, b=3이므로 a=2, b=3i 그러므로 a 2 2i 2i 2 = = = =- i b 3i -3 3 3i Û` É{. a 2 }= i b 3. 따라서 a a 2 2 4 4 _É{ }=- i_ i=- i Û`= b b 3 3 9 9 ②. 3.. 14-36(12+15-12)+. =13 i(12+1412 i)+ =13 i(12+213 i)+ =16 i-6-. 20. 1448+14-86 14-26. 1448+18 i 12 i. 1448 i+18 i Û` 12 i Û`. 413 i 212 + 12 12. 올림포스•수학 (상). (상) 해 20-41 올림기본 2단원-오2.indd 20. 2017-11-01 오전 10:40:11.

(21) =16 i-6-216 i+2. 3[xÛ`-{. =-4-16 i 따라서 a=-4, b=-16이므로 ab=416  416. 4.. 1 1 1 ]=0 + }x+ a b ab. 3{xÛ`-;3!; x+;3@;}=0 3xÛ`-x+2=0  3xÛ`-x+2=0. 이차방정식 xÛ`+2x+2k-3=0의 판별식을 D라 하면. 서로 다른 두 허근을 가지므로 D =1Û`-(2k-3)<0 4. 유형 확인. -2k+4<0 k>2 따라서 정수 k의 최솟값은 3이다. 3. 5.. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여. 02 -1 03 ② 04 -5 05 ① 07 ④ 08 ④ 09 ③ 10 ② 12 3xÛ`+8x-16=0 13 ① 14 ③. z는 실수이어야 한다. ® 01 z=z에서. a+b=3, ab=-1 ⑴ aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=3Û`-2_(-1). 01 ① 06 ③ 11 ②. 본문 40~41쪽. =9+2=11. z가 실수가 되려면 z의 (허수부분)=0이어야 하므로 x+1=0에서 x=-1 ①. aÛ` bÛ` aÜ`+bÜ` ⑵ + = =-(aÜ`+bÜ`) b a ab 이때 aÜ`+bÜ`‌=(a+b)Ü`-3ab(a+b) =3Ü`-3_(-1)_3. 02 (1+i)xÛ`-(1-3i)x=2-2i에서. (xÛ`-x)+(xÛ`+3x)i=2-2i. x가 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여. =36. xÛ`-x=2, xÛ`+3x=-2. 이므로. xÛ`-x=2에서. aÛ` bÛ` + =-(aÜ`+bÜ`)=-36 b a. xÛ`-x-2=0, (x+1)(x-2)=0  ⑴ 11 ⑵ -36. 이므로 x=-1 또는 x=2. yy ㉠. xÛ`+3x=-2에서. 6.. 이차방정식 2xÛ`-x+3=0의 두 근이 a, b이므로 근과. 계수의 관계에 의하여 a+b=;2!;, ab=;2#;. xÛ`+3x+2=0, (x+1)(x+2)=0 이므로 x=-1 또는 x=-2. yy ㉡. ㉠, ㉡에서 x=-1  -1. 그러므로 ;2!; 1 1 a+b + = = =;3!; a b ab ;2#;. 03 z=a+bi (단, a, b는 실수, a+0, b+0)라 하면 . 1 1 1 _ = =;3@; a b ab. ㄱ. z+z®=(a+bi)+(a-bi)=2a. 1 1 따라서 xÛ`의 계수가 3이고 , 을 두 근으로 하는 이차방정 a b. ㄴ. (1+z)(1+z®)=1+z+z®+zz®=1+(z+z®)+zz®. 식은 . 이때 ㄱ에서 z+z는 ® 실수이고. z=a-bi이다. ® 따라서 z+z는 ® 실수이다.. 정답과 풀이. (상) 해 20-41 올림기본 2단원-오2.indd 21. 21. 2017-11-01 오전 10:40:11.

(22) 정답과 풀이 1a. zz=(a+bi)(a-bi)=aÛ `-(bi)Û` ® =aÛ`-(-bÛ`)=aÛ`+bÛ` 이므로 zz는 ® 실수이다. 따라서 z+z,® zz가 실 ® 모두 실수이므로 (1+z)(1+z)도 ® 수이다. ㄷ.. z a+bi = z® a-bi. =. aÛ`+2abi+bÛ`i Û` = aÛ`+bÛ`. =. !#ab-1a 1b+!#2b!#2b-!$4bÛ`. =!#ab-!#ab+!$-2b i_!$-2b i-|2b| =-2bi Û`+2b=2b+2b=4b ③. (a+bi)Û` (a-bi)(a+bi). 07 (1+2i)x+(1-i)y=-3에서 (x+y)+(2x-y)i=-3 복소수가 서로 같을 조건에 의하여. aÛ`-bÛ` 2ab + i aÛ`+bÛ` aÛ`+bÛ`. ab+0이므로. 06 !b =-&’¾;bA; 이고 a+0, b+0이므로 a>0, b<0에서. x+y=-3, 2x-y=0 위의 두 식을 연립하여 풀면. z 는 실수가 아니다. z®. x=-1, y=-2. 이상에서 실수인 것은 ㄱ, ㄴ이다. ②. 5 (3+2i)(-1+i)+ 1+3i. 04. =-3+3i-2i+2i Û`+ =-5+i+. 5(1-3i) 1Û`-(3i)Û`. =-5+i+. 5(1-3i) 10. 142x1y+. 14-8 148x =14-2 14-2+ 1y 14-2. . =12 i_12 i+. . =2i Û`+14. . =-2+2=0. 18 i 12 i. ④. 5(1-3i) (1+3i)(1-3i). 08 이차방정식 xÛ`-6x+a+1=0이 실근을 가지려면 판별 식을 D라 할 때, D =(-3)Û`-(a+1)¾0, 8-a¾0 4. =-5+i+;2!;-;2#; i=-;2(;-;2!; i. aÉ8. 따라서. 따라서 정수 a의 최댓값은 8이다. ④. a+b=-;2(;-;2!;=-5  -5. 09 이차식 xÛ`+2kx+2k+3이 완전제곱식이므로 이차방정 식 xÛ`+2kx+2k+3=0은 중근을 갖는다. 이차방정식 xÛ`+2kx+2k+3=0의 판별식을 D라 할 때,. (1-i)Û` 1-i -2i z= = = =-i이므로 1+i 2 (1+i)(1-i). 05. D =kÛ`-(2k+3)=0 4. 1+z+zÛ`+y+zÚ`â`. kÛ`-2k-3=0. =1+(-i)+(-i)Û`+(-i)Ü`+y+(-i)Ú`â`. (k-3)(k+1)=0. =(1-i+i Û`-i Ü`)+(i Ý`-i Þ`+i ß`-i à`)+i ¡`-i á`+i Ú`â`. k=3 또는 k=-1. =(1-i-1+i)+(1-i-1+i)+1-i-1=-i. 이때 k>0이므로 k=3이다. ①. 22. ③. 올림포스•수학 (상). (상) 해 20-41 올림기본 2단원-오2.indd 22. 2017-11-01 오전 10:40:11.

(23) 10 주어진 이차방정식이 중근을 가지므로 판별식을 D라 할 때, D ={-(k+a)}Û`-(kÛ`+2k+aÛ`)=0 4. 그러므로 방정식 f(2x-3)=0의 두 근의 합은 a+3 b+3 a+b+6 -5+6 1 + = = = 2 2 2 2 2 ①. 2ak-2k=0 2k(a-1)=0. 14 이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 계수가 실수이므로 한 근이. 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로 a-1=0. 1+2i이면 다른 한 근은 1-2i이다.. 따라서 a=1. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 ②. (1+2i)+(1-2i)=-a에서 a=-2 (1+2i)(1-2i)=1Û`-(2i)Û`=1+4=5=b 따라서 a+b=-2+5=3. 11. 이차방정식 4xÛ`-2x+1=0에서 근과 계수의 관계에 의. ③. -2 하여 a+b=- =;2!;, ab=;4!;이므로 4 aÛ`-ab+bÛ`=(a+b)Û`-3ab . ={;2!;}2`-3_;4!;. 서술형. =;4!;-;4#;=-;2!; ②. 12 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-4, ab=-3이므로. 01 8-3i. 02 M=1, m=-2 03 -3. (1-i)z+i z®=(1-i)(a+bi)+i(a-bi) =(a+bi-ai-bi Û`)+(ai-bi Û`). =(a+bi-ai+b)+(ai+b). yy ➊. =(a+2b)+bi. 그러므로. 즉, (a+2b)+bi=2-3i이므로 복소수가 서로 같을 조건에. 1 1 4 8 + }=-4+ =a b 3 3. 의하여. 1 1 4 16 (a+b){ + }=-4_ =a b 3 3 따라서 a+b,. 본문 42쪽. 01 z=a+bi(a, b는 실수)라 하면 z®=a-bi이므로. 1 1 a+b 4 + = = a b ab 3 (a+b)+{. 연습장. yy ➋. a+2b=2, b=-3. 1 1 + 을 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 3인 a b. 이차방정식은 3[xÛ`-{-;3*;}x-;;Á3¤;;]=0이므로 3xÛ`+8x-16=0  3xÛ`+8x-16=0. 13 이차방정식 f(x)=0의 두 근을 a, b라 하면. 따라서 a=8, b=-3이므로 구하는 복소수 z는 yy ➌. z=8-3i .  8-3i 단계. 채점 기준. 비율. ➊. 복소수의 연산을 한 경우. 50`%. ➋. 복소수가 서로 같을 조건을 이용한 경우. 20`%. ➌. 복소수 z를 구한 경우. 30`%. f(a)=0, f(b)=0이고 a+b=-5. 02 이차방정식 xÛ`-x+k-1=0이 서로 다른 두 실근을 가. 이때 방정식 f(2x-3)=0의 두 근은 2x-3=a, 2x-3=b. 지려면 판별식을 DÁ이라 할 때,. 를 만족시키므로. DÁ=1-4(k-1)>0, 4k<5. a+3 b+3 , x= x= 2 2. k<;4%;. 정답과 풀이. (상) 해 20-41 올림기본 2단원-오2.indd 23. 23. 2017-11-01 오전 10:40:11. (24) 정답과 풀이 yy ➊. 에서 정수 k의 최댓값은 1이므로 M=1. 자연수 k에 대하여 z4k-3=-i, z4k-2=-1, z4k-1=i, z4k=1. 이차방정식 2xÛ`-x+k+3=0이 서로 다른 두 허근을 가지려. 이므로 z4k-3+z4k-2+z4k-1+z4k=0에서. 면 판별식을 Dª라 할 때,. z4k-3+z4k-2+z4k-1=-1. Dª=1-4_2_(k+3)<0, 8k>-23. 그러므로 f(1)+f(2)+f(3)+y+f(n)=-1을 만족시키는. k>-;;ª8£;;. 자연수 n은 n=4k-1(k는 자연수) 꼴이므로 이러한 150 이. 에서 정수 k의 최솟값은 -2이므로 m=-2. yy ➋. 하의 자연수 n은 k=1에서 k=37까지 총 37개이다. ②.  M=1, m=-2 단계. 채점 기준. 비율. ➊. M의 값을 구한 경우. 50`%. ➋. m의 값을 구한 경우. 50`%. 02 0이 아닌 복소수 a에 대하여 a=a+bi (a, b는 실수)라 하자. ㄱ. aÛ`+a® Û`=0을 만족시키는 복소수 a는. (a+bi)Û`+(a-bi)Û`=2aÛ`-2bÛ`=2(aÛ`-bÛ`)=0. 03 이차방정식 xÛ`-(kÛ`+2k-3)x+4k-3=0의 두 근을. 에서 a=b 또는 a=-b를 만족시키는 복소수 a는 무수히. a+b=0, ab<0. ㄴ. a a® =-1에서 (a+bi)(a-bi)=aÛ`+bÛ`=-1을 만족시. 많다.. a, b라 하면 두 실근의 절댓값이 같고 부호가 서로 다르므로. yy ➊. 키는 실수 a, b는 존재하지 않으므로 복소수 a는 존재하지. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=kÛ`+2k-3=0, ab=4k-3<0 kÛ`+2k-3=0에서 (k+3)(k-1)=0이므로 yy ➌. k=-3 또는 k=1. 않는다.. yy ➋. ㄷ. b+0일 때. (a+bi)Û` aÛ` = (a+bi)-(a-bi) a-a®. 이 중 ab=4k-3<0을 만족시키는 k의 값은 k=-3이다. yy ➍. .  -3 단계. 채점 기준. 비율. ➊. a, b의 조건을 구한 경우. 30`%. ➋. 두 근의 합과 곱을 구한 경우. 20`%. ➌. 이차방정식의 해를 구한 경우. 30`%. ➍. k의 값을 구한 경우. 20`%. =. aÛ`+2abi-bÛ` 2bi. =. (bÛ`-aÛ`)i aÛ`-bÛ` +a +a= 2b 2bi. 이므로. a+. 두 복소수가 서로 같을 조건에 의하여. bÛ`-aÛ`=-2bÛ`. 즉, aÛ`=3bÛ`을 만족시키는 실수 a, b는 무수히 많으므로 . 복소수 a는 무수히 많다.. (bÛ`-aÛ`)i =a-bi 2b bÛ`-aÛ` =-b에서 2b. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤. 내신. +. 수능. 01 ②. 고난도 문항. 02 ⑤. 03 2'5. 본문 43쪽. 03 이차방정식 xÛ`+3x-1=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 ab=-1 a=-. 1-i. (1-i)Û`. 01 z= 1+i = (1+i)(1-i) =. 24. 1-2i+i Û` -2i =-i = 2 1Û`-i Û`. 1 1 , b=b a. 이때 bf(a)=1, af(b)=1이므로 f(a)=-a, f(b)=-b 에서 f(a)+a=0, f(b)+b=0. 올림포스•수학 (상). (상) 해 20-41 올림기본 2단원-오2.indd 24. 2017-11-01 오전 10:40:12. (25) Ⅱ. 방정식과 부등식. 즉, a, b는 이차방정식 f(x)+x=0의 두 근이다. f(x)+x=a(xÛ`+3x-1) (a+0)이라 하면. 05. f(0)=-a=1에서 a=-1이므로 f(x)+x=-(xÛ`+3x-1). 이차방정식과 이차함수. 기본 유형 익히기. f(x)=-xÛ`-4x+1 그러므로 이차방정식 f(x)=0은 -xÛ`-4x+1=0이므로 근과. 1. 24. 2. ⑤. 유제. 3. 13. 본문 46~47쪽. 4. 11. 계수의 관계에 의하여. 1.. p+q=-4, pq=-1 (p-q)Û`=(p+q)Û`-4pq. 이차함수 y=2xÛ`+kx+3k+1의 그래프가 x축에 접하. 므로 이차방정식 2xÛ`+kx+3k+1=0의 판별식을 D라 할 때,. =(-4)Û`-4_(-1)=20. D=kÛ`-4_2_(3k+1)=0. 따라서. kÛ`-24k-8=0. |p-q|=!$(p-q)Û`=1320=215. 이 방정식은 서로 다른 두 실근을 가지므로 이차방정식의 근과  215. 계수의 관계에 의하여 모든 실수 k의 값의 합은 24이다.  24. 2.. 함수 y=-2xÛ`-5x+8의 그래프와 직선 y=3x+k가. 만나므로 이차방정식 -2xÛ`-5x+8=3x+k, 즉 2xÛ`+8x+k-8=0의 판별식을 D라 할 때, D =4Û`-2_(k-8)¾0 4 32-2k¾0 kÉ16 따라서 정수 k의 최댓값은 16이다. ⑤. 3. . y=2xÛ`-6x+k =2(xÛ`-3x)+k. =2 {x-;2#;}2`+k-;2(;. 이차함수 y=2xÛ`-6x+k는 최솟값 2k-3을 가지므로 k-;2(;=2k-3에서 k=-;2#; 한편 y=-xÛ`+4kx+4=-(x-2k)Û`+4+4kÛ`에서 이차함 수 y=-xÛ`+4kx+4는 x=2k일 때 최댓값 4+4kÛ`을 갖는다. 따라서 구하는 최댓값은. 4+4kÛ`=4+4_{-;2#;}2`=4+9=13.  13. 정답과 풀이. (상) 해 20-41 올림기본 2단원-오2.indd 25. 25. 2017-11-01 오전 10:40:12. (26) 정답과 풀이. 4.. f(x)=axÛ`-2ax+b=a(x-1)Û`-a+b에서 a>0이. 고, 꼭짓점의 x좌표가 1이므로 x=1에서 최솟값, x=-2에서 최댓값을 갖는다. 즉, f(1)=-a+b=-1. ㉠이 k의 값에 관계없이 성립하므로 2a+5=0 a=-;2%; ⑤. f(-2)=8a+b=26 두 식을 연립하여 풀면 a=3, b=2. 04 이차방정식 xÛ`+ax-3=0의 두. 따라서 f(x)=3xÛ`-6x+2이므로. 근은 이차함수 f(x)=xÛ`+ax-3의. f(-1)=3+6+2=11  11. 그래프와 x축의 교점의 x좌표와 같으. a. -2. 1 2 b. x. 므로 a<-2, 10 이므로. 04 ① 05 ③ 09 3 10 ⑤ 14 45`m. f(-2)=(-2)Û`+a(-2)-3=1-2a<0에서 a>;2!;. 01 이차함수 y=xÛ`-2x+a의 그래프와 x축이 만나는 점의 x좌표는 방정식 xÛ`-2x+a=0의 실근과 같으므로 이차방정식 의 근과 계수의 관계에 의하여 -2+b=2, -2b=a가 성립한. . yy ㉠. f(1)=1Û`+a-3=a-2<0에서 a<2. yy ㉡. f(2)=2Û`+2a-3=2a+1>0에서 a>-;2!;. yy ㉢. ㉠, ㉡, ㉢을 모두 만족시키는 a의 값의 범위는. 다.. ;2!;3. 11 이차함수 y=xÛ`-3x+a의 그래프와 직선 y=2x-1의. 따라서 정수 k의 최솟값은 4이다. ④. 한 교점의 x좌표가 1이므로 x=1은 이차방정식 xÛ`-3x+a=2x-1, 즉 xÛ`-5x+a+1=0의 한 실근이다. x=1을 대입하면 1-5+a+1=0에서. 08. 이차함수. a=3. 따라서 y=xÛ`-3x+3= {x-;2#;}2`+;4#;이므로 x=;2#;일 때, 최. y=xÛ`+4x+aÛ`+a =(x+2)Û`+aÛ`+a-4 는 x=-2에서 최솟값 aÛ`+a-4를 갖는다.. 솟값 ;4#;을 갖는다. . b=-2, aÛ`+a-4=2에서.  ②. aÛ`+a-6=0 (a+3)(a-2)=0. 12 xÛ`-2x=t로 놓으면 t=(x-1)Û`-1이므로 -1ÉxÉ2. a<0이므로 a=-3 y=-3xÛ`-2x+5. 일 때 -1ÉtÉ3. =-3{x+;3!;}2`+5+;3!;. 이때 주어진 함수는. =-3{x+;3!;}2`+;;Á3¤;;. y=tÛ`-6t+3=(t-3)Û`-6 따라서 -1ÉtÉ3이므로 t=-1일 때, 최댓값 10을 갖는다.  10. 따라서 x=-;3!;일 때, 최댓값 ;;Á3¤;;을 갖는다. ⑤. 09 이차함수 y=xÛ`+2x+a+3의 그래프가 x축에 접하므로 이차방정식 xÛ`+2x+a+3=0의 판별식을 D라 할 때,. 13 함수 . y. y=|xÛ`-4x-5| =|(x+1)(x-5)|. 9 7. =|(x-2)Û`-9|. D =1Û`-(a+3)=0 4. 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.. a=-2. x=-1 또는 x=5일 때 y=0,. (상) 해 20-41 올림기본 2단원-오2.indd 27. y=|xÛ`-4x-5|. 56. x. 정답과 풀이. 27. -1 O 2. 2017-11-01 오전 10:40:12. (28) 정답과 풀이 x=2일 때 y=9, x=6일 때 y=|4Û`-9|=7이므로 -1ÉxÉ6에서 함수 y=|xÛ`-4x-5|는 x=2일 때 최댓값 9, x=-1 또는 x=5일 때 최솟값 0을 갖는다. 9+0=9 ④. yy ㉠. . kÉ-1. 3k>-4. k>-;3$;. x`m. yy ➌. Ú~Ü 에서 조건을 만족하는 실수 k의 값의 범위는. x`m. x`m. -;3$;0에서 135 2. 단계. yy ㉡. 두 구역의 넓이의 합을 y`mÛ`라 하면 y=(x+270-4x)x. yy ➋. x=1이므로 조건을 만족시킨다.. 직사각형 구역의 가로의 길이는. x<. yy ➊. Ü f(x)=xÛ`-2x+3k+4=(x-1)Û`+3k+3에서 대칭축이. 구역의 한 변의. 길이를 x`m라 하면 x>0. D =1-(3k+4)¾0, 3kÉ-3 4. Û f(2)>0에서 4-4+3k+4>0. 따라서 구하는 최댓값과 최솟값의 합은. 14 정사각형. =(270-3x)x . 채점 기준. 비율. ➊. 판별식을 만족시키는 조건을 구한 경우. 30`%. ➋. f(2)>0을 만족시키는 조건을 구한 경우. 30`%. ➌. 대칭축 조건을 구한 경우. 30`%. ➍. k의 값의 범위를 구한 경우. 10`%. =-3xÛ`+270x =-3(x-45)Û`+3_45Û` 따라서 ㉠, ㉡의 조건을 만족하는 x의 값에 대하여 두 개의 구 역의 넓이의 합은 x=45일 때 최댓값을 가지므로 구하는 정사 각형 구역의 한 변의 길이는 45`m이다.  45`m. 02 f(x)=-xÛ`+2kx-3k =-(x-k)Û`+kÛ`-3k. yy ➊. Ú k<-3일 때. -3ÉxÉ3에서 이차함수 f(x)=-xÛ`+2kx-3k의 최댓 값은 f(-3)이므로. 서술형. 연습장. 01 -;3$;0)라 하면 점 B’의 x좌표는. 비율. -2a이다.. ➊. f(x)의 식을 변형한 경우. 10`%. 4-2xÛ`=kx에서 이차방정식 2xÛ`+kx-4=0은 근과 계수의. ➋. k<-3일 때 조건을 만족하는 k의 값이 존재 하지 않음을 안 경우. 20`%. ➌. -3Ék<3일 때 k의 값을 구한 경우. 30`%. ➍. k¾3일 때 k의 값을 구한 경우. 30`%. ➎. k의 값을 구한 경우. 10`%. 단계. 채점 기준. 관계에 의하여 a_(-2a)=. -4 =-2, -2aÛ`=-2이므로 a=1 2. a+(-2a)=-;2K;, -1=-;2K; 따라서 k=2 ④. 03 그림과 같이 천막을 삼각형. A. A B C라 하고, 출입문을 직사각형 6 m. DEFG라 하자. 변 EF의 중점을 M, . EÕM= Ó MFÓ=x m, . 60ù. D. G y`m. B E x`m x`m F M. DEÓ=y m라 하면. C. BEÓ=(3-x)`m이고 tan`60ù=13 이므로. . =à. xÛ`-3x-4. (xÉ-1 또는 x¾4). -xÛ`+3x+4 (-1

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