Top 42 미분 방정식 풀이 The 14 Detailed Answer

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[미분방정식] 2편. 1계 선형 미분방정식

[미분방정식] 2편. 1계 선형 미분방정식

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자꾸 생각나는 체리쥬빌레 :: 미분방정식 | 1계 선형 미분방정식과 풀이법 | 해 구하기 | “적분 인자”란?

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미분방정식 1계 선형 미분방정식과 풀이법 해 구하기 적분 인자란

1계 선형 미분방정식 형태

1계 선형 미분방정식 해 구하는 방법 – 두가지

그럼 적분 인자가 뭘까 – 적분 인자 이해하기

step1)

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[공업수학] 1계 미분방정식

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미분방정식 풀이

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[공업수학] 1계 상미분방정식 총정리 (1) : 변수분리형, 완전미분방정식, 선형 상미분 방정식, 베르누이 방정식

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[공업수학] 1계 상미분방정식 총정리 (1) 변수분리형 완전미분방정식 선형 상미분 방정식 베르누이 방정식 본문

(1) 변수분리형

(2) 완전 미분 방정식

(3) 선형 상미분 방정식

(4) 베르누이 방정식

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1계 상미분방정식(first-order ODE) : 네이버 블로그

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자꾸 생각나는 체리쥬빌레 :: 미분방정식

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일반적인 선형 상미분방정식은 일반적인 해법이 존재하지 않는다. 풀이가 매번 다르다. 하지만 1차 선형 상미분방정식은 ‘일반적 해법’이 존재한다.

1차 선형 상미분방정식을 풀어내기 위해 이 ‘일반적 해법’만 익히면 문제 없을 것이다. 포스팅을 끝까지 읽으면 어느새 1차 선형 미방 풀이의 고수가 되어있을 것..

먼저 1계 선형 미분방정식의 형태에 대한 이야기를 시작하겠다.

1계 선형 미분방정식 “형태”

여기서 알아야 할 것은 표준형이 어떤 형태인가이다.

(1계 선형 미방을 풀기 위해서는 표준형을 잘 알아둬야 한다!)

표준형으로 바꿔주기

보통 알고있는 1차 선형방정식 형태에는 dy/dx의 계수 a1(x)가 붙어있다. 이 선형계수가 1이 아니라면 양변을 선형계수로 나눠서 dy/dx의 계수가 1이 되도록 만들어준다. 그럼 1계 선형 미분방정식에서 y의 계수인 P(x)를 찾을 수 있을 것이고, 이어서 f(x)부분도 찾을 수 있다. (위 이미지 참고)

이때 P(x)와 f(x)를 계수함수라고 부르는데, 이 계수함수 P와 f가 모두 연속이 되는 어떤 구간 I에서 해를 구하게 된다.

자 그럼이제 ‘해를 구하는 방법’에 대해 이야기할 차례다.

1계 선형 미분방정식 해 구하는 방법 – 두가지

만약에 미분방정식의 형태가 표준형인 dy/dx+P(x)y=f(x)가

ㅇ변수분리형이면 변수분리로 풀면 되고 – 방법 링크

ㅇ변수분리형이 아니라면 ‘적분 인자’라는 것을 이용한다. – 오늘 포스팅 내용이다.

참고:

선형이고 변수분리형인 미방: dy/dx + 2xy = 0

선형이고 변수분리 불가인 미방: dy/dx + y = x

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그럼 적분 인자가 뭘까? – 적분 인자 이해하기

1계 선형 미분 방정식을 푸는 방법 중에는 ‘양변에 특수한 함수 μ(x)를 곱해서’ 푸는 방법이 있다. 먼저 말하자면 μ(x)가 적분 인자다. 아무튼 이 방법을 통해 식을 전개해나가면 어떻게 되느냐? 적분의 과정을 거쳐서 미분방정식의 해 y(x)를 찾아낼 수 있다. 아직 무슨 얘긴가 싶을 수 있다. 이 얘기를 받아들이려면 다음 과정을 슥 보면 된다.

일단 앞서 배운 미분방정식의 형태인 ‘표준형 dy/dx+P(x)y=f(x)’을 기억하고 다음 내용을 읽어야 한다.

위 과정을 읽고나서 아하! 했으면 이걸 기억하자!!

ㅡ 1계 선미방 dy/dx+P(x)y=f(x)의 양변에 적분인자를 곱한 방정식의 좌변은 “적분인자 곱하기 y”의 도함수 꼴이다.

이걸 알아야 문제에 적용가능하다. 어떻게 적용가능하느냐? 이따가 예제로 볼 거긴 하지만, 말로 대충 설명해보겠다. step1 ~ step4

step1)

표준형으로 변형한, 또는 이미 표준형으로 주어진 1계 선미방 dy/dx+P(x)y=f(x)에서 P(x)를 파악가능하다.

step2)

P(x)를 아니까, 적분인자 m(x) = e^integral P(x) dx 를 얻는다.

미분방정식에서 P(x)만 파악하면 바로 적분인자를 얻어낼 수 있는 것이다.

step3)

주어진 미분방정식의 양변에 적분인자를 곱해야 한다. 그러면

이런 꼴이 나올텐데, 여기서 아까 말한 것을 기억해야 한다!! 좌변이 뭐였는가?

좌변은 d/dx [적분인자 y] 꼴이 자동적으로 된다! 이 말은 즉,

“적분인자를 곱한 방정식의 좌변을

형태로 다시 써줄 수 있다는 것이다!”

이렇게 다시 써줘야 양변을 적분하여 전개가 가능하다.

step4)

이제 양변을 적분하여 y에 관하여 풀면

y(x)를 찾아낼 수 있다!

사실 이렇게 보는 것보다는.. 펜 직접 들고 예제 한두번 풀어보는 게 이해에 훨씬 도움이 된다.

그래서 예제를 하나 안내하겠다.

유의점: x의 범위 설정 : 계수함수 P,f가 모두 연속이 되는 구간 I에서 해를 구하게 되는 거라고 했다.

혹시 읽는 사람 있으면 흔적 하나 남기구 가주세요~~ ㅠㅅㅠ

1계 상미분방정식(first-order ODE)

1차 미분방정식의 개요

이전 포스팅에서 다룬것을 요약하면 미분방정식이란 하나 또는 그 이상의 도함수가 포함된 방정식을 뜻하며 y를 구하는 것을 미분방정식을 푼다라고 하며 이를 미분방정식의 해라고 한다. 본 포스팅에서는 1차 미분방정식의 해법에 대한것이다. 즉, 하나의 도함수를 포함하는 미분방정식을 풀어 해를 구하는 것이다. 1차 미분방정식의 형태는 여러가지가 있는데 그 중 가장 간단한 형태인 변수분리형부터 시작해서 동차 미분방정식, 완전 미분방정식에 대해 다룰것이며, 특히 선형 1차 미분방정식의 일반적인 해법에 대해서도 다룬다. 또한 복잡한 형태이기는 하지만 적절한 치환에 의해 간단한 형태로 변환되는 베르누이 및 리카티 미분방정식도 학습한다. 1차 미분방정식은 단지 1계 도함수 y’만을 포함하고, y와 주어진 x의 함수를 포함할 수도 있다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.

변수분리형 방정식(Separable Equation)

1차 미분방정식의 해를 구하는 데 있어 제일 먼저 검토해야 할 사항은 변수분리가 가능한 형태인지 알아내는 것이다.

만일 아래 식의 우변을 적당한 대수조작을 통해 x와 y의 함수로 분리가 가능하다고 하자.

위의 식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

이 식의 좌변은 y만의 함수로, 우변은 x만의 함수로 각각 표현되었으며 이것이 변수가 분리되었다는 의미이다.

위의 식의 양변을 적분하면

이 되며 c는 두개의 적분에 대한 적분상수를 표현한 것이다. 적분을 통해 최종적으로 우리가 구하고자 했던 미분방정식의 일반해 y를 구할 수 있다. 변수분리형 방정식을 풀기 위해서는 치환적분, 부분적분, 부분분수에 의한 적분기법을 미리 숙지하자.

모든 1차 방정식이 언제나 변수 분리가 될 수 있는 것은 아니지만, 많은 경우 변수분리가 가능한 형태로 표현될 수 있다.

예제를 통해 이해해보자. 변수분리를 하면 다음과 같다. 양변을 적분해보자. 좌변 풀이 우변 풀이 좌변, 우변 같이 쓰면 최종적으로 다음과 같은 음함수의 해를 구할 수 있다.

미분방정식의 해는 상황에 따라 양함수나 음함수 표현 모두가 가능하지만 경우에 따라서는 음함수 표현으로부터 양함수 표현을 얻어내기가 매우 어렵고 복잡한 경우가 많다. 이럴 때는 미분방정식의 해를 음함수 형태로 표현하는 것이 좋을 것이다. 양함수 또는 음함수 형태는 함수의 표현방식이며, 어떤 표현방식이 더 좋다고 이야기할 수 없는 것이므로 상황에 따라 적절하게 선택하여 표현하면 된다.

동차 미분방정식(Homogeneous Differential Equation)

앞에서 변수분리가 가능한 1차 미분방정식의 일반해는 변수분리 후에 적절한 적분수행에 의해 구해진다는 것을 알았다. 그런데 만일 대수적인 조작을 통해 변수분리가 되지 않으면 어떻게 할 것인가?

위와 같은 미분방정식을 고려해보자. 대수적인 조작을 통해 x와 y의 변수로 분리할 수 있는가? 불가능 하다. 우변의 분자항이 합의 형태로 주어져 있기 때문에 변수분리가 가능하지 않으므로 변수분리방법을 통해 일반해를 구할 수 없다.

그런데 변수분리가 되지 않는 1차 미분방정식 중에서 동차미분방정식이라는 특별한 형태로 주어진 미분방정식의 경우에는 변수치환과정을 거쳐 변수분리형태로 변환할 수 있다.

어떤 형태가 과연 동차함수(Homogeneous Function)일까? 다음 함수를 고려해 보자.

우변에는 3개의 항이 존재하는 데 각 항의 차수를 살펴보자. xy^3항은 x가 1차, y가 3차, x와 y의 차수의 합이 4이다. x^3y항도 마찬가지로 x와 y의 차수의 합이 4이다. 2x^2y^2항은 x가 2차, y가 2차, 상수는 0차, 합이 4차이다. 이와 같이 모든 항의 차수가 동일한 함수를 동차함수라고 부른다. 정확한 수학적인 정의는 다음과 같다.

동차함수의 정의 : 어떤 실수 n에 대하여 다음과 같은 관계가 성립한다면 f(x, y)를 차수 n의 동차함수라 한다.

다음으로 아래와 같은 미분방정식을 정의하자.

여기에서 M(x,y)와 N(x,y)가 동차함수가 되면 이와 같은 미분방정식을 동차미분방정식이라 부른다.

즉, 동차미분방정식이 되기 위해서는 다음과 같은 조건을 만족해야 한다.

동차 미분방정식의 일반해를 구하기 위해, y=ux 또는 x=vy로 치환함으로써 변수분리법을 통해 해를 구할 수 있다. 단, u와 v는 새로운 종속변수이다. y=ux로 치환한다고 가정하고, 양변을 미분하여 dy를 구해보자.

이를 이용해 동차미분방정식을 풀면된다.

예제를 통해 이해해보자. 동차함수인지 체크해보자. 각각 차수 1의 동차함수이므로 동차미분방정식이다. 변수분리형으로 변환하기 위해 y=ux와 dy=udx+xdu로 치환하여 대입해보자. 양변을 x(2u+1)로 나누어 적분하면 다음과 같다. 윗식에 u=y/x를 대입하면 다음의 음함수의 일반해를 구할 수 있다.

완전 미분방정식(Exact Differential Equation)

완전미분방정식을 다루기 전에 전미분(Total Differential)에 대해 알아보자.

2변수 함수 u=f(x,y)가 연속인 1차 편도함수를 가지는 경우 전미분 du는 다음과 같이 정의된다.

그리고 u=f(x,y)=c(상수) 이면, 다음과 같은 미분방정식을 얻는다.

완전미분 방정식의 정의 : 미분형식 M(x,y)dx + N(x,y)dy가 어떤 함수 f(x,y)의 전미분에 대응되는 경우 주어진 미분형식을 완전미분이라고 정의하며, 다음의 방정식

을 완전미분방정식이라고 한다.

한편, 완전미분방정식이 되기 위해서는 어떠 조건이 필요할까? M(x,y)와 N(x,y)가 연속인 일차편도함수를 가진다고 가정하자.

만일 M(x,y)dx + N(x,y)dy가 완전하면

를 만족하는 어떤 함수 f(x,y)가 존재한다. 따라서

이 성립하며, 다음의 관계식을 얻을 수 있다.

역으로 위의 조건이 만족된다면 M(x,y)dx + N(x,y)dy가 완전미분이 되게 하는 함수 f(x,y)를 찾을 수 있다는 뜻이다.

이제는 완전미분방정식의 해를 구해보자.

f(x,y)를 구하기 위해서 위의 식의 양변을 적분한다.

여기서 k(y)는 x로 적분하는 경우 y의 함수는 상수로 취급될 수 있으므로 적분상수로 가정한다. 양 쪽 식에서 구한 u에는 아직 결정되지 않은 미지의 적분상수 k(y)와 l(y)가 있기 때문에 다음과 같은 방법으로 적분상수들을 구한다.

위 식에서 양변을 적분함으로써 k(y)를 구할 수 있다. l(y)도 마찬가지로 같은 방법으로 구할 수 있다.

f(x,y)가 완전하게 구해지면 완전미분방정식의 해는 다음과 같다.

예제를 통해 동차미분법과 완전미분법을 비교 이해해보자.

1)동차미분법 풀이 먼저 동차함수인지 체크해보자. 각각 차수 3의 동차함수이므로 동차미분방정식이다. 변수분리형으로 변환하기 위해 y=ux와 dy=udx+xdu로 치환하여 풀어보자. y=ux 이므로, u=y/x 를 대입해서 최종의 해를 얻으면 된다. 2) 완전미분법 풀이 먼저 주어진 미분방정식이 완전미분이 가능한지 체크한다. 완전미분방정식의 조건을 만족한다. 다음으로 u를 찾는다. 적분상수 k(y)를 구한다. 최종적으로 u를 구한다.

1차 선형미분방정식

1차 선형방정식은 형태는 다음과 같다.

위의 식을 a₁(x)로 나누면, 다음과 같이 표준 형태(standard form)가 된다.

위의 미분방정식의 특징을 살펴보면, 미지의 함수 y와 그의 도함수 y’에 대하여 1차인 반면에, p와 r은 x에 대한 임의의 주어진 함수이므로 1차 선형미분방정식이라 할 수 있다.

물리적인 의미를 살펴보면, 우변의 함수 r(x)는 입력하는 힘을 나타내고, 해 y(x)는 입력에 의한 운동 또는 전기적 전류나 어떠한 물리량을 나타내는 즉, 출력 또는 응답을 의미한다.

또한 r(x)=0이면 제차(homogneous), r(x)가 존재하면 비제차(nonhomogeneous)라 부른다.

제차미분방정식의 해(r(x)=0인 경우)

위의 식을 변수분리하고 적분을 하면

양변에 지수함수를 취하면 아래와 같은 제차상미분방정식의 일반해를 얻는다.

물리적 해석 : 외부 입력이 없기 때문에 초기값에 의해 좌우됨. 만약 c=0이면 y=0(trivial solution), 즉, 움직이지 않음을 뜻함

비제차미분방정식의 해(r(x)≠0인 경우)

위의 1차 선형미분방정식의 표준 형태를 다음과 같은 형태로 바꿀 수 있다.

위의 식은 일반적으로 완전미분방정식이 아니여서 완전미분법으로 풀 수가 없다. 하지만 함수 F(x)가 곱해져서 완전미분방정식이 되게 할 수 있는데 이때 함수 F(x)를 적분인자(Integrating Factor)라고 한다. 적분인자 F(x)를 위의 식의 양변에 곱하면

위의 식이 완전미분방정식이 되기 위해서는 다음의 조건이 만족되어야 한다.

위의 식을 변수분리형으로 변환하여 양변을 적분하면

이제는 비제차미분방정식의 해를 구해보자. 우선 1차 선형미분방정식 표준 형태에 적분인자를 곱한다.

Fy를 미분해보면 다음과 같다.

위의 식은 적분인자를 구할 때 쓰인 식을 써서 다음과 같이 변경할 수 있다.

즉, 다음과 같은 식이 된다.

양변을 적분하면

위의 식을 간단히 표현하기 위해 다음과 같이 h를 정의하고 최종해를 얻는다.

물리적 해석 : 두 개의 항이 존재하는데, 첫번째 항은 외부 입력 r(x)에 의한 응답이며 두번째 항은 초기값에 의한 응답이다.

즉, 비제차미분방정식의 출력은 외부입력에 의한 응답과 초기값에 의한 응답이 혼합된 것이다.

예제를 통해 제차와 비제차에 대해 이해해보자. 1) 제차 미분방정식 초기값에 의해

2) 비제차 미분방정식

초기값에 의해

베르누이 미분방정식(Bernoulli Differential Equation)

지금까지 1차 미분방정식의 해를 구하기 위한 방법으로 변수분리법, 동차방정식, 완전미분, 적분인자를 배웠다. 그런데 지금까지 설명한 방법으로도 해결되지 않는 미분방정식도 많이 존재하는데, 특별한 경우로서 적절한 치환을 통해 미분방정식의 해를 구할 수 있는 경우가 있다. 다음의 미분방정식을 고찰해 보자.

여기서 a는 임의의 실수이며, a=0,1인 경우는 선형 미분방정식이지만 나머지 a에 대해서는 비선형 미분방정식이다. 이 방정식을 베르누이 미분방정식이라 부른다. 이 방정식의 경우 다음과 같은 치환을 통해 풀 수 있다.

이 식을 미분하고 베르누이 미분방정식의 y’을 대입하면

를 얻는다. 위의 식을 간단히 하면

가 되는데, 여기서 우변의 y^(1-a)=u 이므로 다음과 같은 u에 관한 선형미분방정식을 얻는다.

위의 u에 관한 선형미분방정식에서 u에 대해 해를 구하고, y^(1-a)=u를 이용해서 베르누이 미분방정식의 y에 대한 해를 구한다.

예제를 통해 이해해보자. u를 아래 식에 대입하면 비선형 미분방정식을 이와 같이 u를 변수로 하는 선형 방정식을 얻었다. 이제 변수분리법을 이용하여 u에 대한 해를 구해보자. u=y^3을 대입하여 최종해를 구한다.

리카티 미분방정식(Riccatti Differential Equation)

이탈리아의 수학자이며 철학자인 리카티(Jacopo Francesco Riccati, 1676-1754)의 이름을 따서 아래와 같은 형태의 비선형 미분방정식을 리카티 미분방정식이라고 한다.

대부분은 P(x), Q(x), R(x)에 따라서 이 방정식의 해는 초등함수로 표현할 수 없다. 초등함수란, 대수함수, 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 역삼각함수를 통틀어 이르는 말이다.

이와 같은 미분방정식의 형태가 있다는 것만 알아두고 넘어가자.

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