Top 42 전기 영상 법 Quick Answer

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전기 영상법은 전기력이나 전계, 전위 등을 구하는 해법이다.

무한 평면 도체와 점전하 ① 무한 평면 도체와 점전하 사이에 작용하는 전기력 전기력 앞의 부호가 음의 부호인 것은 흡입력을 뜻한다. …
무한 평면 도체와 선전하 ① 무한 평면 도체와 선전하 사이의 전기력

5-01 (전기 영상법) 전기 영상법

[전기자기학] ⑤ 전기 영상법

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1 전기 영상법

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전기자기학 5장 - 전기 영상법에 대해서 알아보자 + 무한평면 + 접지 구도체 + 점 전하 — 전기자기학 5장 – 전기 영상법에 대해서 알아보자 + 무한평면 + 접지 구도체 + 점 전하

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평면에서의 영상법[편집]

구면에서의 영상법[편집]

선형 유전체에서의 영상법[편집]

힘과 에너지[편집]

물리적 해석[편집]

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]

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전기자기학 5장 – 전기 영상법에 대해서 알아보자 + 무한평면 + 접지 구도체 + 점 전하

안녕하세요, 오늘 다룰 내용은 지난 번에 다룬 유전체에 이어, 오늘 주로 설명 드릴 내용은, 전기 영상법에 대해서,나름대로 정리해서 설명 드리도록 하겠습니다.

1. 전기 영상법

: 이전에 배운 쿨롱의 법칙과 전위, 전계를 구하는 식으로는 해석이 안 되는 경우에 적용이 되는 방법이라고 이해하시면 됩니다. 즉, 어떤 특수한 상황에서의 전하밀도나 힘의 크기등을 구하는 방법을 전기기사를 공부하면서, 접하게 되는데, 이 때는 사용하는 방법입니다.

이 부분은 사실, 공식을 주로 외우라고 추천 드리고 싶습니다. 과년도를 풀어보면, 공식 위주로만 물어보시는 게 더 효율적이라고 생각합니다. 저도 그렇게 공부를 하고 있습니다.

사실 처음에 전기영상법 이라는 단어를 접했을 때는, 회로이론이나 전력공학에서의 정상, 역상, 영상분과는 비슷한 이론인가 생각을 했는데, 거기에서 나오는 영상분과 오늘 제가 설명드릴 전기영상법은 다른 의미입니다.

▼ 여기서는 이미지(image), 즉 상상한다는 의미인데요, 가상의 전하가 존재한다고 가정한다는 의미라고 생각하시면 됩니다. 그럼 각 Case 마다 하나씩 설명 드리도록 하겠습니다.

1) (접지)무한평면과 점전하

2) 접지 구도체와 점전하

3) 대지면과 선전하

2. (접지)무한평면과 점전하

: +Q[C]의 어떤 점전하와 거리 d 만큼 떨어진 어떤 지점 사이에, 작용하는 힘과 전위를 구한다라고 생각해보시죠. 이럴 경우에는 이번에 배운 공식으로는 구할 수 없습니다. 이럴 경우에는 전기영상법을 사용합니다. 앞에 설명 드렸듯이, 가상의 전하가 존재한다고 가정한다는 의미라고 말씀 드렸습니다. 즉 그 지점에서 반대쪽으로 d 만큼 떨어진 곳에 -Q[C]이 있다고 가정을 해보는 거죠.

▼ 두 점 전하로 부터 같은 거리 d 만큼 떨어진 지점의 전위를 구한다는 의미는, 두 점 전하에 의한 전위를 합한 것이 되므로, 아래와 같이 공식을 사용할 수 있습니다. 즉, 어떤 특정 지점으로부터 거리가 같은 전하들의 전위의 합은 0 이 됩니다.

무한평면-점전하

– 공간에서 어떤 두 점전하와 같은 거리에 있는 점은 셀수 없이 많다는 전제하에, 그 점을 다 합치면, 무한평면이 되는 거죠. 다시 설명 드리면, 두 점전하 +Q[C]과 -Q[C] 사이에 같은 거리 d 지점에 평면이 있다면 그 평면의 전위 V=0이 될 것입니다.

무한평면-점전하

그럼 전위 V를 구하는 것은 알아 냈는데, 이번에는 전기 영상법을 이용한 힘 F를 구해보도록 하겠습니다. 다시 위에서 설명 드린 무한 평면을 가지고 설명 드리도록 하겠습니다. +Q[C]의 점 전하와 d 만큼 떨어진 곳에 접지된 무한평면이 있다고 해봅시다. 여기에서 접지란 영어로는 Grouding 이라고 하는데요, 땅과 연결되었다라는 뜻으로 해석하시면 됩니다.

첨언으로 드리자면, 전류는 저항이 낮은 쪽으로 흐립니다. 다른 어떤 곳보다 땅의 저항이 낮기 때문에, 땅에다가 접지를 하는 데요. Safety 측면에서, 접지 (Grouding)는 전기가 있는 곳에는 꼭 들어가는 요소라고 생각하시면 됩니다.

▼ 대지의 전위는 통상 0으로 보기 때문에 대지와 연결된 도체의 전위는 0이 됩니다. 즉 접지된 무한평면이라는 것은 전위가 0인 평면이라는 것이라고 이해하시면 됩니다.

접지된 무한평면과 점 전하 사이에 작용하는 힘을 구할 경우에는, 무한평면과 점 전하 사이의 힘을 구하는 공식은 따로 없고, 이전에 설명 드린 공식으로도 구하기가 어렵습니다. 그래서 전기영상법을 이용하여, 무한평면의 반대쪽에 크기는 같고 부호는 반대인 -Q[C]의 전하가 존재한다고 가정하고 두 점전하 사이의 힘의 크기를 계산함으로써 접지된 무한평면과 점전하 사이의 힘을 구할 수 있습니다

이때 우리가 가정한 -Q[C]의 전하를 영상전하라고 합니다. 가상의 전하라고 생각하시면 됩니다. 아까 전위 구할 때 설명 드렸던 내용을 다시 애기를 하자면, +Q[C]과 -Q[C] 사이에 같은 거리만큼 떨어진 평면의 전위가 0이라는 말은 곧 +Q[C]의 점전하에서 d 만큼 떨어진 곳에 전위가 V=0인 평면이 있다면 반대쪽 d만큼 떨어진 곳에 -Q[C]이 있다라고 생각하시면 됩니다.

그렇게 되면, 두 점 전하 사이의 거리는 2d가 때문에 아래 공식을 사용하여 두 점 전하 사이에 작용하는 힘을 구할 수 가 있습니다. 아래 사용한 공식은 쿨롱의 법칙을 사용한 것입니다.

무한평면-점전하

무한평면-점전하 무한평면-점전하

▼ 부호가 (-)라는 말은 ‘항상 흡인력이 작용한다’ 라는 의미입니다. 더 쉬운 이해를 돕기 위해 아래 그림 참조 부탁 드립니다.

무한평면-점전하-힘

만약 무한평면과 d 만큼 떨어진 곳의 Q[C]의 전하를 무한히 멀리 떨어 뜨릴 때 (무한원점까지 운반할 때) 필요한 일의 양을 구하라고 하면 아래 공식을 이용하시면 됩니다. (W = F X r (or d))

무한평면-점전하-일

▼ 무한평면도체와 점 전하 사이의 전하분포는 둘 사이의 위치나 거리에 따라 달라지는데 전하밀도가 최대가 되면 그 값을 “최대전하밀도” 라고 하는데, 아래 공식을 통해서 도출 할 수 가 있습니다.

최대-전하-밀도

3. 대지면과 선전하

: 위에서 설명 드렸듯이, 대지는 접지 그 자체이므로, 대지면은 V=0입니다. 즉, 대지면은 접지가 되어 있는 무한 평면으로 간주 할 수 가 있습니다. 앞에 설명 드린 내용은 점전하의 내용이라면, 이번에 설명 드릴 내용은 선전하에 대한 내용입니다.

▼ 일단 대지에서 h[m] 높이에 선전하밀도 λ [C/m]의 긴 선 전하가 있을 때 대지면과 선전하 사이에 작용하는 힘을 구하라고 하면, 점 전하 조건에서 적용한 전기 영상법을 이용하여, 대지 아래로 h[m]에 선전하밀도 -λ [C/m][C/m]의 선전하가 있다고 가정하고 두 선전하끼리의 힘을 구하면 됩니다. 즉, 선전하끼리 떨어진 거리는 2h가 되는 셈이겠네요. 이 조건을 이용하여 아래 공식을 도출 할 수가 있습니다.

대지면-선전하

▼ 점 전하와 공통적인 부분은 선 전하에 작용하는 힘도 흡인력이라는 것입니다. 이 부분도 참조하시면 될 거 같습니다.

대지면-선전하

접지 구도체와 점전하에 대해서 추가적으로 설명 드리도록 하겠습니다. 반지름이 a인 접지된 구도체와 d만큼 떨어진 곳에 점 전하 Q[C]가 있다라고 가정을 해보면, 전기 영상법을 이용하면, 무한 평면에서 처럼 영상전하가 평면의 반대쪽에 같은 거리 만큼 떨어진 지점에 생긴다 라고 헷갈릴 수 가 있습니다.

▼ 구도체의 경우에는 무한 평면의 Case와는 달리, 영상 전하는 구도체에 내부에 존재를 합니다.

그리고 그 영상전하의 위치와 크기는 아래 수식을 이용하시면 됩니다. 이 부분은 공식을 유도하지 않고, 그냥 외우는 것만으로도 충분하다고 판단되어 공식만 기재하고 넘어가도록 하겠습니다.

1) 영상 전하의 위치

영상-전하-위치

2) 영상 전하의 크기 :

영상-전하-크기 영상-전하-크기

▼ 위에 설명 드린 공식을 정리해보면 아래와 같습니다. 정리한 공식을 보시면, 공부한거 정리하시면, 좀 더 이해하기도 쉽고, 더 오래 기억에 남으실 겁니다.

요점-정리

요점-정리

이상입니다. 참 수학은 알다가도 신기한 학문인 거 같습니다. 여러가지 학문이 이 수학 그리고 그 수학 공식을 반영한, 물리 공식에 기반해서 이뤄지는 게 참 신기 한거 같습니다. 하지만 반면 어려운 점도 많은 거 같습니다. 왜냐하면, 고등학교를 졸업하고, 그리고 대학교를 졸업하면 이런 기본학문에 대해서는 등안시 하기 때문입니다. 요즘에는 이런 학문도 정말 중요했구나 라고 깨닫고, 그때 더 열심히 않은 제 자신에게 반성하는 시간을 가지게 되었습니다. 늦지는 않았겠죠?! 이제 부터라도, 같이 공부하고, 같이 성장하시죠! 감사합니다.
[참조 자료 출처 : gongkachu12.tistory.com] [저작권이나, 권리를 침해한 사항이 있으면 언제든지 Comment 부탁 드립니다. 검토 후 수정 및 삭제 조치 하도록 하겠습니다. 그리고, 기재되는 내용은 개인적으로 습득한 내용이므로, 혹 오류가 발생할 수 있을 가능성이 있으므로, 기재된 내용은 참조용으로만 봐주시길 바랍니다. 게시물에, 오류가 있을때도, Comment 달아 주시면, 검증 결과를 통해, 수정하도록 하겠습니다.]
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영상법(映像法, method of images)은 라플라스 방정식의 경계값 문제를 좀 더 쉬운 다른 문제로 바꾸어 푸는 방법이다. 영상법의 타당성은 유일성의 정리에 의해 증명된다. 이 때, 바뀐 문제에서는 원래 문제의 전하에 대응하는 가상의 전하를 추가하므로, 이 가상의 전하를 마치 거울에 비치는 영상에 비유한 것이다.

평면에서의 영상법 [ 편집 ]
평면에서의 영상법

구면에서의 영상법.

무한한 도체 평면 위에 전하가 있다고 하자. 그렇다면 정전기 유도에 의하여 도체 표면에 전하가 유도된다. 이러한 계에서 공간 모든 위치의 전위를 계산하는 정전기학 문제를 생각해 보자. 도체 표면 위의 전위는 일정하므로, 이를 편의상 0으로 놓자.

이러한 문제는 직접 계산하기 힘들지만, 그림과 같이 평면 반대쪽에 정확하게 같은 위치에 있지만 그 부호가 다른 전하를 가상으로 추가하고, 도체 평면을 없애자. 이 문제는 비교적 쉽게 풀 수 있다. 이 새로운 문제에서는 대칭에 따라 서로 부호가 다른 두 전하 정중앙에서는 전위가 정확히 0이다. 즉, 새로운 문제의 해는 원래 문제의 디리클레 경계 조건 (즉, 평면 위에 전위가 0인 것)을 만족한다. 라플라스 방정식의 경계 조건을 만족시키는 해는 유일하므로, 원래 문제의 해는 새로운 문제의 해와 (도체 위의 부분에서) 같다.

가장 간단한 예는 그림과 같이 하나의 점전하가 있는 경우지만, 임의의 전하 분포에 대해서도 사용할 수 있다.

구면에서의 영상법 [ 편집 ]
구면에서도 영상법을 적용할 수 있다.[1] 그림과 같이, 반지름 R {\displaystyle R} 의 도체 구면 안에 점전하 q {\displaystyle q} 가 구 한가운데에서 p {\displaystyle p} 만큼 떨어져 있는 곳에 있다고 하자. 이 경우도 마찬가지로 정전기 유도에 의하여 도체 표면에 디리클레 경계 조건을 적용하여야 한다. 평면의 경우와 마찬가지로, 도체 표면의 전위를 0으로 놓자.

이 문제는 다음과 같이 바꿀 수 있다. 그림과 같이, 구의 중심에서 R 2 / p {\displaystyle R^{2}/p} 만큼 떨어진 곳에 가상의 전하 − q R / p {\displaystyle -qR/p} 를 놓자. 그렇다면 이 새 문제의 해는 원래 문제의 디리클레 경계 조건을 만족한다는 사실을 계산으로 확인할 수 있다.

구면 밖에 전하가 위치해 있는 경우나 점전하 대신 임의의 전하 분포가 있는 경우도 마찬가지로 다룰 수 있다.

선형 유전체에서의 영상법 [ 편집 ]
선형 유전체에 유도되는 전하 [ 편집 ]
선형 유전체는 P = ϵ 0 χ e E {\displaystyle \mathbf {P} =\epsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} } 를 만족하는 물질이다. 전기 감수율 χ e {\displaystyle \chi _{e}} 를 가지는 유전체 내부에 전하량 q {\displaystyle q} 를 가지는 입자를 위치시킨다고 가정해보자. 입자가 유전체 내부에 배치되는 순간, 구속 전하가 입자가 만드는 전기장에 의해 재배열되고, 구속 전하와 원래 입자에 의한 새로운 전기장이 유도된다. 이때, 유도되는 구속 전하 밀도는 ρ b = − ∇ ⋅ P = − ∇ ⋅ ( ϵ 0 χ e ϵ D ) = − ( χ e 1 + χ e ) ρ f {\displaystyle \rho _{b}=-

abla \cdot \mathbf {P} =-

abla \cdot \left(\epsilon _{0}{\frac {\chi _{e}}{\epsilon }}\mathbf {D} \right)=-\left({\frac {\chi _{e}}{1+\chi _{e}}}\right)\rho _{f}} 와 같이 주어진다. 입자에 의한 q f = q {\displaystyle q_{f}=q} 와 유도되는 q b = − χ e 1 + χ e q {\displaystyle q_{b}=-{\frac {\chi _{e}}{1+\chi _{e}}}q} 를 합하면 전체 전하량 q t o t a l = q f + q b = 1 1 + χ e q {\displaystyle q_{total}=q_{f}+q_{b}={\frac {1}{1+\chi _{e}}}q} 을 얻을 수 있다. 또한 상대유전율은 전기 감수율과 ϵ r = 1 + χ e {\displaystyle \epsilon _{r}=1+\chi _{e}} 의 관계를 가지기 때문에 정리하면 q t o t a l = 1 ϵ r q {\displaystyle q_{total}={\frac {1}{\epsilon _{r}}}q} 을 얻을 수 있다.

평면에서의 영상법 [ 편집 ]
진공에 놓인 도체 평판과 동일하게, z > 0 {\displaystyle z>0} 에서 유전율 ϵ 1 {\displaystyle \epsilon _{1}} , z < 0 {\displaystyle z<0} 에서 유전율 ϵ 2 {\displaystyle \epsilon _{2}} 을 가지는 유전체가 z = 0 {\displaystyle z=0} 에서 직선 경계를 가진다고 생각하자. 이때 경계면과 d {\displaystyle d} 만큼 떨어진곳에 전하량 q {\displaystyle q} 를 가지를 입자를 위치했을 때 생기는 전위는 영상법을 이용해 계산 가능하다. z > 0 {\displaystyle z>0} 에서의 전위를 z < 0 {\displaystyle z<0} 에 영상 전하 q ′ {\displaystyle q'} 를, z < 0 {\displaystyle z<0} 에서의 전위를 z > 0 {\displaystyle z>0} 에 영상 전하 q ″ {\displaystyle q”} 를 위치시켜 계산하면

V u p = 1 4 π ϵ 1 [ q x 2 + y 2 + ( z − d ) 2 + q ′ x 2 + y 2 + ( z + d ) 2 ] {\displaystyle V_{up}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{1}}}\left[{\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}+{\frac {q’}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}}}}\right]}

V d o w n = 1 4 π ϵ 2 [ q ″ x 2 + y 2 + ( z − d ) 2 ] {\displaystyle V_{down}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{2}}}\left[{\frac {q”}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}\right]} 과 같이 식을 얻을 수 있다. 전위는 연속적이고, 경계면에서 자유 전하가 존재하지 않음으로 z = 0 {\displaystyle z=0} 에서 경계조건은 V u p = V d o w n {\displaystyle V_{up}=V_{down}} , D u p ⊥ = D d o w n ⊥ {\displaystyle \mathbf {D} _{up}^{\perp }=\mathbf {D} _{down}^{\perp }} 으로 주어진다. 변위장은 D ⊥ = ϵ E ⊥ = − ϵ ∂ V ∂ n {\displaystyle \mathbf {D} ^{\perp }=\epsilon \mathbf {E} ^{\perp }=-\epsilon {\frac {\partial V}{\partial n}}} 을 만족하므로, 두번째 조건을 ϵ 1 ∂ V u p ∂ z = ϵ 2 ∂ V d o w n ∂ z {\displaystyle \epsilon _{1}{\frac {\partial V_{up}}{\partial z}}=\epsilon _{2}{\frac {\partial V_{down}}{\partial z}}} 와 같이 변위에 대해 바꿀 수 있다.

ρ = x 2 + y 2 {\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} 으로 두면, 경계조건은 q ′ {\displaystyle q’} , q ″ {\displaystyle q”} 에 대해 다음 두 식을 만족한다.

1 4 π ϵ 1 [ q d ρ 2 + d 2 + q ′ d ρ 2 + d 2 ] = 1 4 π ϵ 2 [ q ″ d ρ 2 + d 2 ] {\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{1}}}\left[{\frac {qd}{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}}+{\frac {q’d}{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}}\right]={\frac {1}{4\pi \epsilon _{2}}}\left[{\frac {q”d}{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}}\right]}

ϵ 1 4 π ϵ 1 [ q d ρ 2 + d 2 3 − q ′ d ρ 2 + d 2 3 ] = ϵ 2 4 π ϵ 2 [ q ″ d ρ 2 + d 2 3 ] {\displaystyle {\frac {\epsilon _{1}}{4\pi \epsilon _{1}}}\left[{\frac {qd}{{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}^{3}}}-{\frac {q’d}{{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}^{3}}}\right]={\frac {\epsilon _{2}}{4\pi \epsilon _{2}}}\left[{\frac {q”d}{{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}^{3}}}\right]}

이를 다시 q ′ {\displaystyle q’} , q ″ {\displaystyle q”} 에 대해 정리하면 ϵ 2 q + ϵ 2 q ′ = ϵ 1 q ″ {\displaystyle \epsilon _{2}q+\epsilon _{2}q’=\epsilon _{1}q”} , q − q ′ = q ″ {\displaystyle q-q’=q”} 이다.

따라서, 영상전하는 q ′ = ϵ r 1 − ϵ r 2 ϵ r 1 + ϵ r 2 q {\displaystyle q’={\frac {\epsilon _{r_{1}}-\epsilon _{r_{2}}}{\epsilon _{r_{1}}+\epsilon _{r_{2}}}}q} , q ″ = 2 ϵ r 2 ϵ r 1 + ϵ r 2 q {\displaystyle q”={\frac {2\epsilon _{r_{2}}}{\epsilon _{r_{1}}+\epsilon _{r_{2}}}}q} 과 같이 주어지며, 각 영역에서의 전위는

V u p = q 4 π ϵ 1 [ 1 x 2 + y 2 + ( z − d ) 2 + ϵ r 1 − ϵ r 2 ϵ r 1 + ϵ r 2 1 x 2 + y 2 + ( z + d ) 2 ] {\displaystyle V_{up}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{1}}}\left[{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}+{\frac {\epsilon _{r_{1}}-\epsilon _{r_{2}}}{\epsilon _{r_{1}}+\epsilon _{r_{2}}}}{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}}}}\right]}

V d o w n = q 4 π ϵ 0 [ 2 ϵ r 1 + ϵ r 2 1 x 2 + y 2 + ( z − d ) 2 ] {\displaystyle V_{down}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {2}{\epsilon _{r_{1}}+\epsilon _{r_{2}}}}{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}\right]} 이다.

구속 전하를 이용한 영상법 [ 편집 ]
먼저 입자에 의한 전기장에 의해 유도되는 구속 전하를 계산해 선형 유전체 내에서의 상황을 진공에서의 상황으로 바꾸어 접근할 수 있다. 입자를 유전체 내부에 위치했을 때 전위에 관여하는 전하는 4개이다.

유전체 내부에 위치한 점전하 q {\displaystyle q} 점전하 주위로 유도되는 구속 전하 위쪽 경계면에 유도되는 구속 전하 아래쪽 경계면에 유도되는 구속 전하

선형 유전체 경계면에서의 영상법

1, 2에 의한 총전하량은 q t o t a l = 1 ϵ r 1 q {\displaystyle q_{total}={\frac {1}{\epsilon _{r_{1}}}}q} 으로 주어진다. z > 0 {\displaystyle z>0} 에서의 전위는 3, 4에 의한 영향을 z < 0 {\displaystyle z<0} 영역에 경계면으로부터 d {\displaystyle d} 만큼 위치한 영상 전하 q ′ {\displaystyle q'} 으로 대신해서 다음과 같이 얻을 수 있다. V u p = 1 4 π ϵ 0 [ 1 ϵ r 1 q x 2 + y 2 + ( z − d ) 2 + q ′ x 2 + y 2 + ( z + d ) 2 ] {\displaystyle V_{up}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{\epsilon _{r_{1}}}}{\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}+{\frac {q'}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}}}}\right]} 이때, 유전체에 의한 효과를 구속 전하로 치환해 전위를 구할 때 유전체의 효과를 나타내는 ϵ 1 {\displaystyle \epsilon _{1}} 대신 진공에서의 ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} 를 사용한다. 마찬가지로, z < 0 {\displaystyle z<0} 에서의 전위는 다음과 같이 주어진다. V d o w n = 1 4 π ϵ 0 [ 1 ϵ r 1 q x 2 + y 2 + ( z − d ) 2 + q ″ x 2 + y 2 + ( z − d ) 2 ] {\displaystyle V_{down}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{\epsilon _{r_{1}}}}{\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}+{\frac {q''}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}\right]} 이때, 대칭적 구조에 의해 영상 전하는 z > 0 {\displaystyle z>0} 과 반대의 지점에 위치하게 된다.

ρ = x 2 + y 2 {\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} 으로 두면, 경계조건은 q ′ {\displaystyle q’} , q ″ {\displaystyle q”} 에 대해 다음 두 식을 만족한다.

1 4 π ϵ 0 [ 1 ϵ r 1 q d ρ 2 + d 2 + q ′ d ρ 2 + d 2 ] = 1 4 π ϵ 0 [ 1 ϵ r 1 q d ρ 2 + d 2 + q ″ d ρ 2 + d 2 ] {\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{\epsilon _{r_{1}}}}{\frac {qd}{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}}+{\frac {q’d}{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}}\right]={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{\epsilon _{r_{1}}}}{\frac {qd}{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}}+{\frac {q”d}{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}}\right]}

ϵ 1 4 π ϵ 0 [ 1 ϵ r 1 q d ρ 2 + d 2 3 − q ′ d ρ 2 + d 2 3 ] = ϵ 2 4 π ϵ 0 [ 1 ϵ r 1 q d ρ 2 + d 2 3 + q ″ d ρ 2 + d 2 3 ] {\displaystyle {\frac {\epsilon _{1}}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{\epsilon _{r_{1}}}}{\frac {qd}{{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}^{3}}}-{\frac {q’d}{{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}^{3}}}\right]={\frac {\epsilon _{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{\epsilon _{r_{1}}}}{\frac {qd}{{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}^{3}}}+{\frac {q”d}{{\sqrt {\rho ^{2}+d^{2}}}^{3}}}\right]}

이를 다시 q ′ {\displaystyle q’} , q ″ {\displaystyle q”} 에 대해 정리하면 q ′ = q ″ {\displaystyle q’=q”} , q − ϵ r 1 q ′ = ϵ r 2 ϵ r 1 q + ϵ r 2 q ″ {\displaystyle q-\epsilon _{r_{1}}q’={\frac {\epsilon _{r_{2}}}{\epsilon _{r_{1}}}}q+\epsilon _{r_{2}}q”} 이다.

따라서, 영상 전하는 q ′ = q ″ = ϵ r 1 − ϵ r 2 ϵ r 1 ( ϵ r 1 + ϵ r 2 ) q {\displaystyle q’=q”={\frac {\epsilon _{r_{1}}-\epsilon _{r_{2}}}{\epsilon _{r_{1}}(\epsilon _{r_{1}}+\epsilon _{r_{2}})}}q} 와 같이 주어지며, 각 영역에서의 전위는

V u p = q 4 π ϵ 1 [ 1 x 2 + y 2 + ( z − d ) 2 + ϵ r 1 − ϵ r 2 ϵ r 1 + ϵ r 2 1 x 2 + y 2 + ( z + d ) 2 ] {\displaystyle V_{up}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{1}}}\left[{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}+{\frac {\epsilon _{r_{1}}-\epsilon _{r_{2}}}{\epsilon _{r_{1}}+\epsilon _{r_{2}}}}{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}}}}\right]}

V d o w n = q 4 π ϵ 1 [ 2 ϵ r 1 ϵ r 1 + ϵ r 2 1 x 2 + y 2 + ( z − d ) 2 ] {\displaystyle V_{down}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{1}}}\left[{\frac {2\epsilon _{r_{1}}}{\epsilon _{r_{1}}+\epsilon _{r_{2}}}}{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}\right]} 와 같다.

ϵ 1 = ϵ r 1 ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{1}=\epsilon _{r_{1}}\epsilon _{0}} 이므로, 직접 영상법을 이용해 계산한 전위와 구속 전하를 먼저 계산한 이후 영상법을 사용한 전위가 동일한 것을 확인할 수 있다.

힘과 에너지 [ 편집 ]
평면에서의 영상법 [ 편집 ]
영상법을 통해 구한 구조에서 전하량 q {\displaystyle q} 의 입자가 받는 힘은 F = − 1 4 π ϵ 0 q 2 ( 2 d ) 2 z ^ {\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q^{2}}{(2d)^{2}}}\mathbf {\hat {z}} } 으로 주어진다.

2 d {\displaystyle 2d} 의 거리만큼 떨어진 두 실제 입자계의 에너지는 W 0 = ∫ ∞ 2 d F ⋅ d l = 1 4 π ϵ 0 ∫ ∞ 2 d q 2 r 2 d r = − 1 4 π ϵ 0 q 2 2 d {\displaystyle W_{0}=\int _{\infty }^{2d}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\infty }^{2d}{\frac {q^{2}}{r^{2}}}dr=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q^{2}}{2d}}} 와 같이 주어진다.

영상 전하-전하 쌍의 경우 에너지는 W = ∫ ∞ d F ⋅ d l = 1 4 π ϵ 0 ∫ ∞ d q 2 ( 2 r ) 2 d r = − 1 4 π ϵ 0 q 2 4 d {\displaystyle W=\int _{\infty }^{d}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\infty }^{d}{\frac {q^{2}}{(2r)^{2}}}dr=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q^{2}}{4d}}} 으로, W = 1 2 W 0 {\displaystyle W={\frac {1}{2}}W_{0}} 를 만족한다.

이는 W = ϵ 0 2 ∫ E 2 d τ {\displaystyle W={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int E^{2}d\tau } 을 생각했을때, 영상법의 경우 도체 내부에서 전기장이 없기 때문에 전하-전하쌍에 비해 에너지가 반으로 준다는 것을 확인할 수 있다.[2]
물리적 해석 [ 편집 ]
각 경우에 구한 전위를 바탕으로 공간에 유도되는 전하를 계산했을때, 유도 전하량과 영상법을 사용할 때 임의로 잡은 영상 전하의 전하량이 일치하는 것을 확인할 수 있다. 즉, 영상 전하의 기원은 실제로 유도되는 전하의 분포에서 온다고 볼 수 있다.

평면에서의 영상법 [ 편집 ]
영상법을 이용해 구한 전위는 V = 1 4 π ϵ 0 [ q x 2 + y 2 + ( z − d ) 2 − q x 2 + y 2 + ( z + d ) 2 ] {\displaystyle V={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}-{\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}}}}\right]} 으로 주어진다. 이때, 실제로 도체 표면에 유도되는 전하량을 구하기 위해 σ = − ϵ 0 ∂ V ∂ n = − ϵ 0 ∂ V ∂ z | z = 0 {\displaystyle \left.\sigma =-\epsilon _{0}{\frac {\partial V}{\partial n}}=-\epsilon _{0}{\frac {\partial V}{\partial z}}\right\vert _{z=0}} 를 사용하면 σ ( ρ ) = − q d 2 π ( ρ 2 + d 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \sigma (\rho )={\frac {-qd}{2\pi (\rho ^{2}+d^{2})^{3/2}}}} 를 얻을 수 있다.

따라서 유도되는 총 전하량은 Q = ∫ σ d a = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ − q d 2 π ( ρ 2 + d 2 ) 3 / 2 ρ d r d ϕ = − q {\displaystyle Q=\int \sigma da=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }{\frac {-qd}{2\pi (\rho ^{2}+d^{2})^{3/2}}}\rho drd\phi =-q} 와 같다.

즉, 도체 표면에 실제로 유도되는 전하량은 도체 위에 위치한 전하량과 크기는 같고 부호는 반대이다.

선형 유전체에서의 영상법 [ 편집 ]
영상법을 이용해 구한 전위는

V u p = q 4 π ϵ 1 [ 1 x 2 + y 2 + ( z − d ) 2 + ϵ r 1 − ϵ r 2 ϵ r 1 + ϵ r 2 1 x 2 + y 2 + ( z + d ) 2 ] {\displaystyle V_{up}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{1}}}\left[{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}+{\frac {\epsilon _{r_{1}}-\epsilon _{r_{2}}}{\epsilon _{r_{1}}+\epsilon _{r_{2}}}}{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}}}}\right]} , V d o w n = q 4 π ϵ 1 [ 2 ϵ r 1 ϵ r 1 + ϵ r 2 1 x 2 + y 2 + ( z − d ) 2 ] {\displaystyle V_{down}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{1}}}\left[{\frac {2\epsilon _{r_{1}}}{\epsilon _{r_{1}}+\epsilon _{r_{2}}}}{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}}\right]} 으로 주어진다.

마찬가지로 각 표면에 유도되는 구속 전하는 σ b = − ϵ 0 [ ∂ V ∂ z | z = 0 + − ∂ V ∂ z | z = 0 − ] = q 4 π d ( ρ 2 + d 2 ) 3 / 2 [ 2 ( ϵ 2 − ϵ 1 ) ϵ 1 ( ϵ 1 + ϵ 2 ) ] {\displaystyle \sigma _{b}=-\epsilon _{0}\left[\left.{\frac {\partial V}{\partial z}}\right\vert _{z=0^{+}}-\left.{\frac {\partial V}{\partial z}}\right\vert _{z=0^{-}}\right]={\frac {q}{4\pi }}{\frac {d}{(\rho ^{2}+d^{2})^{3/2}}}\left[{\frac {2(\epsilon _{2}-\epsilon _{1})}{\epsilon _{1}(\epsilon _{1}+\epsilon _{2})}}\right]} 와 같다.

이때 표면에 유도되는 전하량은 q b s u r f a c e = ϵ 1 − ϵ 2 ϵ 1 ( ϵ 1 + ϵ 2 ) q {\displaystyle q_{b_{surface}}={\frac {\epsilon _{1}-\epsilon _{2}}{\epsilon _{1}(\epsilon _{1}+\epsilon _{2})}}q} 이다.

같이 보기 [ 편집 ]
참고 문헌 [ 편집 ]

[Lv1] 5장. 전기영상법(무한평면 및 접지구도체와 점전하, 대지면과 선전하)

안녕하세요

어느덧 5장으로 넘어왔네요

이 장은 전계의 특수해법이라고 하는

전기영상법에 대한

내용을 다룹니다

어떤 특수한 상황에서의 전하밀도나

힘의 크기등을 구하는 방법을 공부하게 되는데

공식 몇개만 암기하고 넘어가면

그 공식만 물어보는 문제가 대부분이므로

간단하게 정리하고 넘어갈 수 있습니다

전기영상법에서 영상이라는 말은

회로이론이나 전력공학에서의 영상분과는

다른 의미입니다

여기서는 이미지(image)의 의미입니다

가상의 전하가 존재한다고 가정한다는 의미입니다

전기영상법을 이용한 문제풀이는

크게 세 가지 범주로 나눠집니다

1) (접지)무한평면과 점전하

2) 접지 구도체와 점전하

3) 대지면과 선전하

1) (접지)무한평면과 점전하

+Q[C]의 어떤 점전하와

거리 d 만큼 떨어진 지점을 살펴봅시다

그 지점에서 반대쪽으로 d 만큼 떨어진 곳에

-Q[C]이 있다고 해봅시다

두 점전하로부터 같은거리 d 만큼

떨어진 지점의 전위를 구해보면

두 점전하에 의한 전위를 합한 것이 되므로

$$\frac{+Q}{4πεr^2}+\frac{-Q}{4πεr^2}=0$$

이 됩니다

공간에서 어떤 두 점전하와 같은 거리에 있는 점은

셀수없이 많겠죠. 그 점을 다 합치면

무한평면이 됩니다

다시 말해 두 점전하 +Q[C]과 -Q[C] 사이에

같은 거리 d 지점에 평면이 있다면

그 평면의 전위 V=0이 될 것입니다

반대로 생각해봅시다

+Q[C]의 점전하와 d 만큼 떨어진 곳에

접지된 무한평면이 있다고 해봅시다

(여기서 접지란 땅과 연결했다는 뜻으로

대지의 전위는 통상 0으로 보기때문에

대지와 연결된 도체의 전위는 0이 됩니다

즉 접지된 무한평면이라는 것은

전위가 0인 평면이라는 것이죠)

접지된 무한평면과 점전하 사이에

작용하는 힘을 구하라고 한다면

무한평면과 점전하 사이의 힘을 구하는 공식은

따로 없어 구하기 어렵지만

무한평면의 반대쪽에 크기는 같고 부호는 반대인

-Q[C]의 전하가 존재한다고 가정하고

두 점전하 사이의 힘의 크기를 계산함으로써

접지된 무한평면과 점전하 사이의 힘을 구할 수 있습니다

(이때 우리가 가정한 -Q[C]의 전하를

영상전하라고 합니다

가상의 전하라고 생각하면 됩니다)

+Q[C]과 -Q[C] 사이에 같은 거리만큼 떨어진 평면의

전위가 0이라는 말은 곧

+Q[C]의 점전하에서 d 만큼 떨어진 곳에

전위가 V=0인 평면이 있다면

반대쪽 d만큼 떨어진 곳에 -Q[C]이 있는거다

라고 반대로 생각할 수 있는 거죠

따라서 두 점전하 사이의

그럼 두 점전하끼리는

2d만큼 떨어진 셈이니

쿨롱의 법칙을 이용해

힘을 구하면

$$F=\frac{(+Q)(-Q)}{4πε(2d)^2}=-\frac{Q^2}{16πεd^2} [N]$$

이 됩니다

부호가 (-)라는 말은

‘항상 흡인력이 작용한다’ 라는 의미입니다

만약 무한평면과 d 만큼 떨어진 곳의 Q[C]의 전하를

무한히 멀리 떨어뜨릴때

(무한원점까지 운반할때)

필요한 일의 양을 구하라고 하면

$$W=F×d=\frac{Q^2}{16πεd^2}×d=\frac{Q^2}{16πεd} [J]$$

입니다

문제에 나오면 보기가

$\frac{Q^2}{4πεd}$ , $\frac{Q^2}{8πεd}$ , $\frac{Q^2}{16πεd}$

이런식이므로 $Q^2$ 이 분자일때

분모에 $16π$가 있는 모양이면

무조건 답이라고 생각하면 됩니다

* 최대전하밀도

무한평면도체와 점전하 사이의 전하분포는

둘 사이의 위치나 거리에 따라 달라지는데

전하밀도가 최대가 되면 그 값은

$$σ_{max} =-\frac{Q}{2πd^2} [C/m^2]$$

이 됩니다

문제에서 거리를 d가 아니라 a로 줄때도 있는데

그러면 $σ_{max} =-\frac{Q}{2πa^2}$ 가 되겠죠

무한평면과 점전하에 대한

전기영상법 내용을 살펴봤습니다

2) 접지 구도체와 점전하

반지름이 a인 접지된 구도체와

d만큼 떨어진 곳에

점전하 Q[C]이 있다고 해봅시다

무한평면에서는 영상전하가 평면의 반대쪽에

같은거리만큼 떨어진 지점에 생긴다고 했었죠

접지된 구도체는 영상전하가 어디에 생길까요?

영상전하는 구도체에 내부에 존재하고

그 위치는

$$\frac{a^2}{d}$$

입니다

삼각형의 닮음을 활용하여 유도할 수 있지만

결과만 기억하면 됩니다

영상전하의 크기는 어떻게 될까요?

$$Q’=-\frac{a}{d} Q$$

즉 점전하와 부호도 다르고 크기도

$-\frac{a}{d}$배가 됩니다

무한평면에서는 +Q[C]에 해당하는 영상전하가

-Q[C]으로서 부호는 다르지만 크기는 같았는데

접지구도체에서는 크기도 다르네요

영상전하의 위치와 크기를 잘 기억합시다!

항상 흡인력이 작용하는 것은 동일합니다

3) 대지면과 선전하

대지면은 V=0이라고 접지 설명하면서

말씀드렸습니다

대지면은 무한접지평면으로 볼수있는거죠

대지에서 h[m] 높이에

선전하밀도 λ $[C/m]$의 긴 선전하가 있을때

대지면과 선전하 사이에 작용하는 힘을

구하라고 하면

대지 아래로 h[m]에

선전하밀도 -λ $[C/m]$의 선전하가 있다고

가정하고

두 선전하끼리의 힘을 구하면 됩니다

선전하끼리 떨어진 거리는 2h가 되는 셈이겠네요

선전하의 전계는 2장에서 배웠지만

힘은 배우지 않았네요

대신 $F=QE$를 이용해 $F$를 구할 수 있습니다

$F=QE$인데 $Q$ 대신 $λ$로 주어졌으므로

$$F=λE=λ×\frac{λ}{2πε(2h)}=\frac{λ^2}{4πεh}$$

가 됩니다

역시나 항상 흡인력이 작용하는 것은 동일합니다

식을 외우는 것보다

$$F∝\frac{1}{h}$$

즉, h에 반비례한다

라는 사실을 기억합시다

전기 영상법이 사용되는 3가지

케이스의 도체를 살펴봤습니다

설명이 길다면 길었을수 있는데

결국 외워야할 것만 요약하면 다음과 같습니다

1) 접지무한평면과 점전하

① 접지무한평면과 점전하 사이에 작용하는 힘 : $\frac{Q^2}{16πεd^2} [N]$

(크기만 따지면 부호 안붙여도 되고

부호도 따져야 하면 (-)붙여줍니다)

② 항상 흡인력이 작용

③ 무한원점까지 옮기는데 필요한 일 : $\frac{Q^2}{16πεd} [J]$

④ 최대전하밀도 : $-\frac{Q}{2πa^2} [C/m^2]$

2) 접지구도체와 점전하

① 영상전하의 위치 : $\frac{a^2}{d}$

② 영상전하의 크기 : $Q’=-\frac{a}{d} Q$

③ 항상 흡인력이 작용

3) 대지면과 선전하

① 선전하가 지면으로부터 받는힘 : h에 반비례한다($F∝\frac{1}{h}$)

② 항상 흡인력이 작용

문제 풀이로 정리해보겠습니다

1

2

3

4

5

1

평면과 점전하라는 말이 나오면

전기영상법 중 무한평면과 점전하에 대한 문제입니다

최대전하밀도를 물었네요

외운대로 답을 고르면 됩니다

답은 ③번입니다

2

접지된 구도체와 점전하라는 말이 나오면

전기영상법 중 접지된 구도체와 점전하에 대한 문제입니다

사실상 문제 안에 모든 힌트가 다 있는거죠

전기영상법에서 나오는 모든 도체들은

항상 흡인력이 작용한다고 했었습니다

(흡인력, 흡입력 모두 같은 말로 보면 됩니다)

답은 ①번입니다

3

평면과 점전하라는 말이 나오면

전기영상법 중 무한평면과 점전하에 대한 문제입니다

힘이나 필요한 일을 물으면 무조건

$Q^2$ 아래 $16π$가 들어간걸 고르면

된다고 했었습니다

답은 ③번입니다

4

대지면과 선전하라는 말이 나오면

전기영상법 중 대지면과 선전하에 관한 문제입니다

힘은 h에 반비례한다고 했었죠

답은 ④번입니다

5

평면과 점전하라는 말이 나오면

전기영상법 중 무한평면과 점전하에 대한 문제입니다

3번과 같은 문제같지만 d가 r로 바뀌어있습니다

힘이나 필요한 일을 물으면 무조건

$Q^2$ 아래 $16π$가 들어간걸 고르면

된다고 했었죠

답은 ③번입니다

<요약>

5장은 이것으로 마무리하겠습니다

Lv1 첫회독이지만 5장의 내용은 이후에도

추가로 다룰 내용이 거의 없다고 봐도 무방합니다

3가지 케이스별로 요약된 공식들만

잘 적용할 수 있으면 쉽게 풀수있습니다

계속해서 힘내봅시다

다음은 6장을 포스팅하겠습니다

감사합니다!

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