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(고1) 수학-3. 도형의 방정식
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도형 의 방정식
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직선의 방정식, 직선의 방정식 구하기 – 수학방
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직선의 방정식 직선의 방정식 구하기
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고1수학 도형과 방정식
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(고1) 수학-3. 도형의 방정식
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1. 두 점 사이의 거리
2. 수직선 위에서의 선분의 내분점과 외분점
3. 좌표평면 위에서의 선분의 내분점과 외분점
4. 한 점과 기울기가 주어진 경우의 직선의 방정식
5. 서로 다른 두 점이 주어진 경우의 직선의 방정식
6. 직선의 방정식의 일반형
7. 두 직선의 위치 관계
8. 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식
9. 점과 직선 사이의 거리
10. 세 꼭짓점의 좌표가 주어진 삼각형의 넓이
11. 원의 방정식
12. 원의 방정식의 일반형
13. (보너스) 아폴로니오스의 원 예제
14. 축에 접하는 원의 방정식
15. 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식
16. 원과 직선의 위치 관계
17. 원의 접선의 방정식 – 접점이 주어지는 경우
18. 원의 접선의 방정식 – 기울기가 주어지는 경우 & 원 밖의 한점이 주어지는 경우
19. (보너스) 원과 직선 활용 예제
20. 평행이동
21. 대칭이동
22. 직선 $y=x$ 에 대한 대칭이동
23. (보너스) 대칭이동 활용 예제 1
24. (보너스) 대칭이동 활용 예제 2
25. (보너스) 대칭이동 활용 예제 3
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직선의 방정식, 직선의 방정식 구하기
직선의 방정식은 중학교 때 공부했던 직선의 방정식, 일차함수와 일차방정식에서 살짝 다뤄본 적이 있어요. 일차함수 그래프의 모양이 평면좌표에서 직선이기 때문에 직선의 방정식이라고 한다고 했죠.
직선의 방정식 구하기는 일차함수 식 구하기, 직선의 방정식 구하기와 방법이 같아요. 다만 이제는 조금 더 세련된(?) 방법으로 직선의 방정식을 구할 수 있어요.
공식이 여러 개 나오는데 어떻게 공식이 유도되는지 잘 보고 잊어버리지 않도록 외워두세요.
직선의 방정식 구하기
직선의 방정식은 일차함수와 모양이 같아요. y = ax + b 꼴이죠. 그러니까 직선의 방정식을 구한다는 말은 a, b를 구한다는 것과 같아요. a는 기울기, b는 y절편이죠?
여러 경우에 a, b를 어떻게 구하는지 방법을 알아보죠.
기울기와 y절편이 주어졌을 때 직선의 방정식 구하기
일차함수의 일반형 y = ax + b에서 기울기는 a, y절편이 b죠. 기울기와 y절편이 주어졌으면 이 내용을 거꾸로 해서 직선의 방정식을 바로 구할 수 있겠죠?
기울기가 m이고, y절편이 n인 직선의 방정식 ⇒ y = mx + n
기울기와 한 점의 좌표가 주어졌을 때 직선의 방정식 구하기
y = ax + b에서 a를 알려준 거예요. 그럼 b만 구하면 되죠? 알려준 기울기가 m이고, 한 점의 좌표가 A(x 1 , y 1 )라고 한다면 이 식에 대입해서 b를 구할 수 있어요.
y = ax + b
y 1 = mx 1 + b (∵ 기울기 m과 (x 1 , y 1 ) 대입)
b = y 1 – mx 1
y = ax + b
y = mx + (y 1 – mx 1 ) (∵ 기울기 m과 b = y 1 – mx 1 대입)
y – y 1 = mx – mx 1
y – y 1 = m(x – x 1 )
기울기가 m이고, 한 점(x 1 , y 1 )을 지나는 직선의 방정식 ⇒ y – y 1 = m(x – x 1 )
두 점을 지나는 직선의 방정식 구하기
두 점의 좌표 A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 )를 알면 기울기를 구할 수 있어요.
m =
기울기를 구했네요. 그럼 기울기와 두 점의 좌표를 알게 되었어요. 위에서 했던 공식에 바로 대입해보죠.
y – y 1 = (x – x 1 )
그런데 한 가지 생각해야 할 게 기울기 에서 x 1 = x 2 라면 분모가 0이 되어버리죠? 그러니까 이 공식으로는 x 1 = x 2 일 때 직선의 방정식을 구할 수 없어요.
x 1 = x 2 일 때는 그래프를 보듯이 모든 x좌표가 x 1 으로 같고, y축에 평행한 x = x 1 이 돼요.
y 1 = y 2 라면 어떨까요? 기울기가 0이겠죠? 모든 점의 y좌표가 y 1 으로 같고, x축에 평행인 y = y 1 이 돼요.
y – y 1 = (x – x 1 )
y – y 1 = 0 (∵ y 1 = y 2 )
y = y 1
공식을 이용해서 구할 수 있으니 굳이 따로 외울 필요는 없겠네요.
두 점 (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 )를 지나는 직선의 방정식
x 1 ≠ x 2 일 때, y – y 1 = (x – x 1 )
x 1 = x 2 일 때, x = x 1
x절편과 y절편이 주어졌을 때 직선의 방정식 구하기
x절편의 좌표 (a, 0), y절편의 좌표 (0, b)이 주어졌다고 해보죠. x절편과 y절편도 두 점의 좌표에요. 그러니까 위의 두 점을 지나는 직선의 방정식 공식에 넣어보죠.
여기서 a, b가 분모니까 a와 b는 0이 아니에요. a, b 중 하나라도 0일 때는 두 점을 지나는 직선의 방정식 구하는 방법으로 구하세요. 참고로 a = b = 0이면 (0, 0)인 점 하나만 알려준 거라서 직선의 방정식을 구할 수 없어요.
x절편이 (a, 0), y절편이 (0, b)인 직선의 방정식 ⇒ (단, ab ≠ 0)
다음을 보고 직선의 방정식을 구하여라.
(1) 기울기가 3이고 y절편이 5인 직선
(2) 기울기가 2이고 (3, 5)를 지나는 직선
(3) 두 점 (2, 5), (4, 6)을 지나는 직선
(4) x절편이 (3, 0), y절편이 (0, 6)인 직선
(1)은 기울기와 y절편을 알려줬네요.
y = mx + n
y = 3x + 5
(2)는 기울기와 한 점의 좌표를 알려줬고요.
y – y 1 = m(x – x 1 )
y – 5 = 2(x – 3)
y = 2x – 1
(3)은 두 점의 좌표를 알려줬네요. 두 점의 x좌표가 서로 다르니까 공식을 이용할 수 있어요.
(4)는 x,y 절편을 알려줬는데 둘 다 0이 아니에요. 공식에 대입해보죠.
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[중등수학/중2 수학] – 일차함수 식 구하기, 직선의 방정식 구하기 [중등수학/중2 수학] – 그래프를 보고 직선의 방정식 구하기정리해볼까요 직선의 방정식 구하기 기울기가 m이고 y절편이 n인 직선의 방정식 ⇒ y = mx + n
기울기가 m이고, 한 점(x 1 , y 1 )을 지나는 직선의 방정식 ⇒ y – y 1 = m(x – x 1 )
, y )을 지나는 직선의 방정식 ⇒ y – y = m(x – x ) 두 점 (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 )를 지나는 직선의 방정식 x 1 ≠ x 2 일 때, y – y 1 = (x – x 1 ) x 1 = x 2 일 때, x = x 1
, y ), (x , y )를 지나는 직선의 방정식 x절편이 (a, 0), y절편이 (0, b)인 직선의 방정식 ⇒ (단, ab ≠ 0)
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