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残差分析の計算方法は？
- 観測値から期待値を引いた残差を算出する
- 残差を標準偏差と残差分散で割り、調整済み標準化残差というものを算出する
- 調整済み標準化残差からp値を算出する。
残差分析 何がわかる？
残差のもつ何らかの傾向（増加している、減少している等）の有無や、飛び抜けた値の有無を確認し、推定されたモデルの妥当性を検証すること。 どのセルの残差が有意に大きいかを分析すること。 残差の値同士を単純に比較することはできないため、残差を標準化しP値から判断を行う。
カイ二乗検定 どんな時に使う？
カイ二乗検定とは何かが発生する頻度(度数)について偏りがあるかどうかを調べる手法。 理論的に予想されるデータの分布と実際に観測されたデータの分布がほぼ同じかどうかを検証する。 「予想通りの結果なのか?」 あるいは「出来事に関連があるのか?」という2種類の検定がある。
カイ二乗検定の標本数は？
カイ二乗検定（chi-square test） はデータの分布への適合性の検定方法です． サンプルをいくつかのクラスに分類して行います． 近似的な方法であるため，サンプル数が十分に大きくなくてはなりません． 一般的に，サンプル数は30以上必要と言われます．
残差の定義は？
一方、「残差」は標本集団のデータを用いて推計された回帰式から得られた値（予測値）と実際に測定された値（実測値）との差を表す。 従って、誤差は計算で求められないが、残差は計算で求められる。
残差 正規分布 なぜ？
残差が正規分布している必要がある理由は、回帰モデルの有意性確認に使う分散分析のF検定の検定統計量の分母に該当するから。 F分布は、分母・分子とも正規分布していることが前提だからだ。
T検定とカイ二乗検定の違いは？
t検定が連続値の比較（平均値の差を検定している）をするのに対して、カイ2乗検定は、分割表でまとめられた（カテゴライズされた）データ、つまり割合に差があるのかを比較する際に用いられます。
ピアソンのカイ二乗検定のp値は？
検定結果の指標 統計結果の指標には「ｐ値」を用います。 95%信頼区間の場合は p < 0.05 で、99%信頼区間の場合は p < 0.01 で有意差があると判断できます。 頻度の大小については「調整済み残差」で判断します。
カイ二乗検定の流れは？
手順１.二つの変数が独立と仮定すると、各々のセルに入るべき値はこのくらいになるという期待のもと、期待度数を計算。 手順２.期待度数と実際の度数の差の二乗を期待度数で割った結果の和を計算。 手順４.p値が0.05以下なら、帰無仮説を棄却。 ということになります。
なぜ標準偏差を求めるのか？
例えば、標準偏差5分の場合、分散25分² となるので、分散を見るだけでは実際に平均値からどれくらいばらつきがあるかが直感的にわかりにくいのです。 そのため、実際に平均値からどれくらいばらつきがあるのかを把握するためには標準偏差が使われます。
残差の読み方は？
残差（読み）ざんさ
カイ二乗検定の後の「残差分析」をエクセルでやる方法 | 業務改善＋ITコンサルティング、econoshift：マイク根上
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カイ二乗検定の残差分析とは？
２×２のカイ二乗検定では残差分析をやっても意味がない
前回のカイ二乗検定のやり方をおさらいする
カイ二乗検定の残差分析のやり方
残差分析とは？使い方やエクセルでの計算方法をわかりやすく解説！｜いちばんやさしい、医療統計
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3群比較でのカイ二乗検定を残差分析で評価してみる
残差分析をエクセルで実施！
まとめ
EXCELの分析ツールの標準残差とは -EXCELの分析ツールで回帰分析（一次- Excel（エクセル） | 教えて!goo
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【エクセル回帰分析結果の見方】出力される４つの表をすべて検証してみた。 | 物流業界の歩き方
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３ Excelを使用した算出方法
４ 有意確率（P値）
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カイ二乗検定の後の「残差分析」をエクセルでやる方法
カイ二乗検定の後の「残差分析」をエクセルでやる方法
カイ二乗検定の実施後にその中の項目のどこに違いがあったかを統計的に知る方法が「残差分析」です。その残差分析をエクセルで実施する方法を図解しています。また学習用テンプレートをダウンロードしてご自分で実施してみて下さい。
（動画時間：9:19）
ダウンロード ←これをクリックして「カイ二乗検定と残差分析」エクセルテンプレートをダウンロード出来ます。
カイ二乗検定の残差分析とは？
こんにちは、リーンシグマ、ブラックベルトのマイク根上です。
業務改善コンサルをしています。
今日はこの動画リクエストからです。
「カイ二乗検定の残差分析をエクセルで行う方法を教えていただければ幸いです。」
Hawgleさん、動画リクエストありがとうございました。
ちょうど統計学の動画を作りたいと思っていましたので良かったです。
カイ二乗検定の記事は以前配信して、
その検定では複数のデータ群の集計の間に
無視できない大きな違いがあるかどうか、
統計的に調べる事ができる事を学びました。
⇒「カイ二乗検定とは？エクセルでわかりやすく実演」
しかし、カイ二乗検定で有意な違いがあったと分かったとしても、
複数の項目のどこに違いがあるかは分かりません。
そこで今回のリクエストの
残差分析をすればそれが分かるのです。
今日はそれをエクセルでやる方法をお見せします。
通常僕のサイトでは極力数式を使わずに説明をしていますが、
残念ながらこの残差分析の関数や
分析ツールがエクセルに無いですので、
今回はいくつか数式が出てくる事をご了承下さい。
２×２のカイ二乗検定では残差分析をやっても意味がない
先のカイ二乗検定の記事では
「ハンバーガーショップで学ぶ楽しい統計学」のサイトの
シナリオとサンプルデータをお借りしました。
⇒「ハンバーガーショップで学ぶ楽しい統計学のサイトのカイ二乗検定のページ」
ワクワクバーガーの店員さんがポテトの売上は良いんだけど
フライドチキンの売上が低いのではないかと心配していて、
ライバルのモグモグバーガーの売上のデータと共に
カイ二乗検定を実施しました。
結果は心配してた通りワクワクバーガーのチキンの売上の割合は
統計的に低い事が分かりました。
それでこの後、残差分析をしたいところですが、
このシナリオでは2店舗の2商品（２×２）のデータで、
ワクワクバーガーのチキンの売上が悪いなら、
ポテトの売上が良い事が確定し、
逆にモグモグバーガーのポテトの売上は悪くて、
チキンの売上が良い事が確定します。
つまり、２×２のカイ二乗検定では残差分析は使えません。
分析をしても良いのですがやる前から結果は分かっています。
ですので、２×３や３×２以上のカイ二乗検定の後に
この残差分析をやるのです。
今回はポテトとチキンに
ハンバーガーの売上データを加えてやってみます。
前回のカイ二乗検定のやり方をおさらいする
先ほどと同じサイトの実践編ページのデータをお借りします。
⇒「楽しい統計学のサイトのカイ二乗検定の実践編のページ」
まず普通にカイ二乗検定をやってみます。
今回は学習用のテンプレートを作りましたので、
それに則ってやっていきます。無料ですのでダウンロードしてみて下さい。
⇒「カイ二乗検定と残差分析」エクセルテンプレートのダウンロード
上図がその実測値のデータです。
まず上図セルJ4とJ5で
この各店舗合計、それを横周辺和（セルI4とI5）と言いますが、
それの全体（セルI6）との割合を先に求めます。
ちなみにセルをダブルクリックすると上図の様に、
その場で数式が見えるし、参照しているセルに色が付くので便利です。
セルF12で期待値を求めるのにその各割合（J4)と
各メニューの合計、これを縦周辺和（セルF6）と言いますが、
それらを掛けて期待値を完成させます。
この計算方法は前回の動画で詳しくやりました。
⇒「カイ二乗検定とは？エクセルでわかりやすく実演」
期待値の表が完成したら、
CHISQ.TEST関数で、実測値範囲と期待値範囲を選べば、
カイ二乗検定のP値が計算できます。
結果は0.71%と出ました。
1%の有意水準でも「違いが無い」と言う帰無仮説を棄却できますので、
かなりの違いがありました。
しかし、今回は２ｘ３のデータですので、
その中のどのメニューに大きな違いがあったのかは分かりません。
ですので、ここで残差分析をするのです。
カイ二乗検定の残差分析のやり方
まず、残差とは何でしょう？
漢字からは「残りの差」ですが、
カイ二乗検定での残差分析の中では
各「実測値と期待値の差」を比べて分析すると言う事です。
それをステップバイステップでやってみましょう。
「残差」と「標準化残差」を求める
各データの「実測値ー期待値」で全ての残差を求めます。（下図参照）
この残差の結果を見たらハンバーガーの残差が一番大きいですね。
しかしその売上自体も大きいですので何とも言えません。
そこで、この残差を標準化する必要があります。
それを標準化残差と言い、
残差÷期待値の平方根で求められます。（下図参照）
平方根は英語でSquare Rootですので
エクセルの平方根の関数はSQRT関数となります。
この結果を見ると一つ問題があるのです。
理論上残差の様にメニュー毎に絶対値が同じで正負逆の数字に
ならなければいけないのですが、
この標準化残差はそうなっていません。
「残差分散」を求める
そこで残差分散を求めてそれを使って
標準化残差を調整します。
残差分散は上図の数式で求められ、
全て実測値を対象にします。
図内の左の表は実測値で、
右の表で残差分散を求めていきます。
ワクワクのポテトを例に式を見るとこうなります。
残差分散 ＝（１ー1250÷2000）×（１ー700÷2000）
セル内の数式は次の式になりますが、
コピペする時に絶対参照にするドルマークを上手く付ける必要があります。
=(1-$F47/$F$49)*(1-C$49/$F$49)
この数式をコピペした後に、
この1250のF47は下にはずれてほしいけど
F列から左右にはずれてほしくないのでFの横にドルマークを付けますが、
この2000のF49は横にも縦にもずれてほしくないので両方ともドルマークを付けます。
次の700のC49は横にはずれてほしいけど、
49行より上下にずれてほしくないので、
この49の前にドルマークを付けます。
最後の総数は同じ2000ですので、両方ドルマークを付けます。
これを全てのセルにコピペをしたら
ちゃんと思ったようにコピーされます。
残差分散から「調整済み標準化残差」を求める
この残差分散を使って必要な「調整済み標準化残差」を
求める事ができるのです。下図内の式がそれです。
ワクワクのポテトのセル内の式はこれです。
=I20/SQRT(F12*I47)
これをコピペすると、さっきの標準化残差が調整されて
全ての列で絶対値が全く同じの正負が逆の値になりました。（上図参照）
この中で絶対値が大きいほど違いがあるので、
やっぱりワクワクのチキンの売上の割合が一番低いみたいです。
各列のP値を求め、答えを見つける
最後にエクセル関数を使ってメニュー毎にP値を求めてみます。
その数式と計算結果が下図内の式と表になります。
NORMSDIST関数の説明を見ると
「標準正規分布の累積分布関数の値を返します。」という事です。
ABS関数は英語のAbsoluteから、絶対値を取得します。
これでチキンのP値が0.36％で「違いが無い」と言う帰無仮説を完全に棄却できますし、
ワクワクバーガーのチキンの残差がマイナスなので、
その売上の割合が一番低い事が分かります。
しかし、ハンバーガーの残差はプラスで、P値が2.09%で、
これは５％の有意水準でしたら棄却できます。
ですのでハンバーガーの売上の割合は良いみたいです。
今言った有意水準はやはり、検定をやる前に
有意水準5%か1%どちらにするかを先に決めておいた方が良いでしょう。
参考までにこの残差分析を２×２のデータでやってみました。
カイ二乗検定のP値は3.46％で、
残差分析によるポテトもチキンのP値も同じ3.46％でした。
２×２のデータでやるといつも同じP値になります。
これで２×２のデータでは残差分析をする必要がない事がはっきりしましたね。
今回の計算方法は生物科学研究所 井口研究室のページを参考にさせて頂きました。
⇒「生物科学研究所 井口研究室のサイトのカイ二乗検定のページ」
皆さんどうでしたか？
ちょっと難しかったかもしれませんが、
ご自分でデータを入れて数式を書いていったらもっとご理解できるので、
今日お見せしたエクセルファイルを学習用として
ダウンロード可能にして実際にやってみて下さい。
⇒「カイ二乗検定と残差分析」エクセルテンプレートのダウンロード
＜＜カイ二乗の記事シリーズ＞＞
残差分析とは？使い方やエクセルでの計算方法をわかりやすく解説！｜いちばんやさしい、医療統計
残差分析はカイ二乗検定の後に行われる分析です。
カイ二乗検定の欠点を補う分析ですが、カイ二乗検定ほどの知名度はありません。
そのため
「残差分析って一体何？」
「エクセルで残差分析をしたい場合、どうやったらいいの？」
といった疑問を持っている方も多いはずです。
本記事では残差分析の意味やエクセルでの実施方法を解説します。
残差分析とは？わかりやすく解説！
まずは残差分析について確認していきましょう！
残差分析とは？
残差分析とは、カイ二乗検定の後にどのカテゴリーの比率に有意差があったのか分析する手法です。
カイ二乗検定は2種類のカテゴリー変数間の比率に差があるかどうか確かめる検定です。
カイ二乗検定について詳しく知りたい方はこちらの記事をご覧ください。
カイ二乗検定を実施すれば、たとえば男女で疾患A、疾患B、疾患Cの罹患率に差があるか確かめることができます。
しかしカイ二乗検定だけでは、どの疾患の罹患率に差があったのか分かりません。
もしかしたら疾患Aだけかもしれないですし、全部の疾患で差があったのかもしれません。
せっかくならどの疾患に差があったのか確かめたいですよね。
そこで役に立つのが残差分析です。
残差分析を使えば疾患A、疾患B、疾患Cの罹患率に差があるかそれぞれp値で算出できますので、どこに差があるのか確かめることができます。
残差分析の計算方法
残差分析の計算方法の概要は以下の流れになります。
残差分析の流れ 観測値から期待値を引いた残差を算出する 残差を標準偏差と残差分散で割り、調整済み標準化残差というものを算出する 調整済み標準化残差からp値を算出する。
期待値の詳しい説明はカイ二乗検定と同じですので省きますが、期待値は“変数間にまったく差がなかった時にとる理論上の値”です。
カイ二乗検定では、期待値とのズレが大きければ大きいほど、変数間に差があると判定していました。
残差分析でもこの期待値とのズレを”残差”と呼び、使用していきます。
残差が大きければ大きいほど変数間に差があると判定すればいいだけなのですが、一つ問題があります。
残差は人数が多ければ多いほど大きくなっていってしまうからです。
先ほどの例を使うと、各カテゴリー(疾患A~C)で男女の罹患率が同じだったとしても、罹患しやすい疾患は数が多くなるため、残差が大きくなります。
つまり残差を見ただけでは、どれくらい変数間に差があるのか分かりません。
そこで人数の多さに左右されないように残差を変換したものが調整済み標準化残差というものです。
調整済み標準化残差の計算式は以下のようになります。
調整済み標準化残差は標準化された正規分布になります。
もう少し分かりやすく言うと、調整済み標準化残差の絶対値が1.96を超えればp値が5%未満であると判定できます。
ですので調整済み標準化残差が算出できれば、あとはエクセルを使って簡単にp値を算出することができます。
残差分析が必要ない場面
ここまで残差分析の有用性についてお話してきましたが、残差分析が必要ない場面もあります。
それは2×2のクロス集計表に対してカイ二乗検定をかけている場面です。
つまり”男女”と”疾患A、疾患B”のようなカテゴリーが2つしかない変数同士を検定にかけた時です。
このような場合では、カイ二乗検定だけで完結できるため残差分析は必要ありません。
残差分析が必要になるのは、3つ以上のカテゴリーがある変数を扱う場合のみです。
では実際に例を用いて、3群比較で残差分析を行ってみましょう。
3群比較でのカイ二乗検定を残差分析で評価してみる
それでは実際に残差分析を具体的な数値を踏まえて確認してみましょう！
残差分析が使えるケース
カイ二乗検定と残差分析を使って、”男女で疾患A、疾患B、疾患Cの罹患率に差があるか”確かめてみましょう。
今回観測したデータをクロス集計表にまとめると、以下のようになりました。
カイ二乗検定を実行した結果、p値は0.025となりました。
ひとまず疾患によって性別の比率に有意に差があるといえそうです。
ただしまだどの疾患で差があるのか分かっていません。
さらに検証するため残差分析を実行してみましょう。
残差分析の結果
残差分析の結果、各疾患のp値は以下のようになりました。
今回のケースでは疾患Cのみp値が0.05を下回っています。
以上の結果から、”疾患C”に罹患する患者の男女比は全体に対して有意に差があるといえます。
結果の解釈
残差分析の結果の解釈で一つ注意しておきたい点があります。
“残差分析はデータ全体に対する差しか分析していない”という点です。
似たような解析に多重比較というものがあります。
多重比較は「疾患A vs 疾患B」「疾患B vs 疾患C」「疾患C vs 疾患A」というように1対1で比較していきます。
これに対して残差分析は「全体 vs 疾患A」「全体 vs 疾患B」「全体 vs 疾患C」というように比較しています。
つまり検討したカテゴリーの中に、一つでも極端なカテゴリーがあると全て有意になります。
例えば疾患Cだけ異常な男女比の差があり、疾患Aと疾患Bは同じ男女比だとしましょう。
多重比較では「疾患B vs 疾患C」「疾患C vs 疾患A」のみ有意差があると出ます。
しかし残差分析では全ての疾患で有意差が出てしまいますので、あたかも疾患Aと疾患Bにも差があるように捉えてしまいがちです。
このように残差分析では捉えきれない情報もあるため、論文では多重比較が使われることが多いように思います。
注意しておきましょう。
多重比較の詳細はこちらの記事をご覧ください。
残差分析をエクセルで実施！
残差分析はエクセルでも実施できますので、実際にやってみましょう！
残差のクロス集計表を作成
観測値のクロス集計表を作成
観測値のクロス集計表は以下のようになります。
後ほど使用するので”合計”の列も作っておきましょう。
期待値のクロス集計表を作成
次に期待値のクロス集計表を作成します。
期待値は”横列の合計”×”縦列の合計”÷”全体の合計”で計算します。
エクセルの数式は以下のようになります。
残差のクロス集計表を作成
残差は”観測値”-“期待値”で計算します。
調整済み標準化残差を算出
残差分散を算出
残差分散の計算式は以下になります。
エクセルの数式は以下のようになります。
調整済み標準化残差を算出
最後に調整済み標準化残差の計算式を再度確認しておきましょう。
エクセルの数式は以下のようになります。
上下のマスで絶対値が同じ値になるはずです。
p値を算出
p値はNORM.S.DIST関数を使用して算出します。
上下どちらも絶対値が同じ値ですので、どちらを使用しても構いません。
今回は上の列(“男”の行)だけ使います。
エクセルの式は以下のようになります。
以上で残差分析を使って各カテゴリーのp値を算出できました。
お疲れさまでした。
まとめ
最後におさらいをしましょう。
残差分析は3カテゴリー以上のカイ二乗検定と合わせて使用する分析
各カテゴリーのp値を出すことで、どのカテゴリーに差があるか確認できる
残差分析と多重比較とは結果の解釈が異なる点に注意が必要
残差分析は観測値のクロス集計表が作れればエクセルで可能
残差分析はカイ二乗検定と同様にエクセルで手軽に計算できます。
カテゴリー数が多いものに対してカイ二乗検定を実行する際は、一緒に分析するようにしましょう。
最後までお読みいただきありがとうございました。
エクセルＱＣ館
（解説）
1.残差について、説明して行きます。
2.残差は、実測値から予測値を引いた値です。
3.残差を数値で表現すると、以下の通りになります。
・残差ｅ ｉ ＝実測値ｙ ｉ −予測値ｙ ｈａｔｉ
4.残差は、左式の様に回帰式を用いて算出します。
5.残差で、回帰式の妥当性を評価します。
（解説）
1.残差のバラツキ、標準化について、説明して行き
ます。
2.残差で回帰式の妥当性を評価しますが、残差の
バラツキを求め、さらに標準化する必要が有り
ます。
3.残差のバラツキは、分散の平方根から算出します。
（標準偏差）
・σ ｈａｔｅ ＝Ｖ ｅ ０．５
・ここで、Ｖ ｅ を算出する時の自由度φ ｅ ＝ｎ−２
に注意。
ｉ
ｉ
ｅ
4.残差の標準化は、残差を分散の平方根で割ります。（標準化残差）・ｅ’＝ｅ／Ｖ5.残差の標準化を行う理由は、特性値によって残差の絶対値が大きく変わり、残差そのものでは回帰式の妥当性が評価できない為です。
（解説）
1.標準化偏差の算出について、説明して行きます。
2.左表の様に、下記項目を記述及び算出します。
・要因 ： ｘ ｉ１
・実測値 ： ｙ ｉ
・予測値 ： ｙ ｈａｔｉ
・残差 ： ｅ ｉ
・標準化残差： ｅ ｉ ’
3.標準化残差が、−３〜３の間で有れば正常と判断
します。
（解説）
1.予測値と標準化偏差の散布図について、説明して
行きます。
2.左図の様に、横軸にｙの予測値、縦軸に標準化残差
を取り、散布図を作成します。
3.散布図の見方は、大きくは下記の２つが有ります。
・標準化残差が、−３〜３から外れていないか？
・増加、減少、周期性などの現象はないか？
4.上記の２つで異常が無ければ、回帰式は妥当と判断
します。
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