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해결의 법칙 수학(상) 유형편; Chapter_02 항등식과 나머지정리 [0149 ~ 0155]

유형 해결의 법칙 고등 수학(상) (2021) 답지

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유형 해결의 법칙 고등 수학(상) (2021) 답지

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유형 해결의 법칙 고등 수학(상) (2021) 답지

교재소개

내신에 강하다 유형 해결의 법칙

(수학의 모든 유형을 다 잡을 수 있는 기출 유형 기본서)

상세정보

학년고1년도2021과목수학저자최용준, 해법수학연구회판형220*297쪽수전체 416 (본문 224 +정답과 해설 192)

교재특징

1. 수학의 모든 유형의 문제를 다룬다.

전국 고등학교의 내신 기출 문제를 수집, 분석하여 유형별로 수록함으로써 개념을 익힐 수 있는 충분한 문제 연습이 가능하도록 하였습니다.

2. 내신에 최적화된 문제 기본서

기본 문제로 개념 확인하기, 유형별로 문제 익히기, 실전 시험에 대비하기, 교과서 속 심화 문제를 통해 응용력 강화하기 등 단계별로 학습이 가능한 내신에 최적화된 시스템 으로 구성하였습니다.

3. 전략을 통한 문제 해결 방법 제시

유형별 해결 전략을 제시하여 핵심 유형을 마스터하고 해결 능력을 스스로 향상시킬 수 있도록 하였습니다.

교재목차

Ⅰ 다항식

1 다항식의 연산

2 항등식과 나머지정리

3 인수분해

Ⅱ 방정식과 부등식

4 복소수

5 이차방정식

6 이차방정식과 이차함수

7 여러 가지 방정식

8 연립일차부등식

9 이차부등식과 연립이차부등식

Ⅲ 도형의 방정식

10 평면좌표

11 직선의 방정식

12 원의 방정식

13 도형의 이동

교재구성

본문+정답과 해설

161129_고등유형_해결의법칙_수학(상)_PL_정답과해설_opt2.pdf 4.65MB 161129_고등유형_해결의법칙_수학(상)_PL_정답과해설_opt1.pdf 3.13MB

반응형

2020년 천재교육 개념 해결의 법칙 고등 수학 (상) (15개정) 답지

정답과

해설

I 다항식

1 | 다항식의 연산

2 | 항등식과 나머지정리

3 | 인수분해

II 방정식과 부등식

4 | 복소수

5 | 이차방정식

6 | 이차방정식과 이차함수

7 | 삼차방정식과 사차방정식

8 | 연립방정식과 부정방정식

9 | 연립일차부등식

10 | 이차부등식과 연립이차부등식

III 도형의 방정식

11 | 평면좌표

12 | 직선의 방정식

13 | 원의 방정식

14 | 도형의 이동

002

010

017

022

029

039

048

056

064

072

083

089

101

114

⑵ A-2B =(x‹+x€-x-5)-2(2x‹-2x€+3x)

=x‹+x€-x-5-4x‹+4x€-6x

=-3x‹+5x€-7x-5

⑶ 2A+B =2(x‹+x€-x-5)+(2x‹-2x€+3x)

=2x‹+2x€-2x-10+2x‹-2x€+3x

=4x‹+x-10

⑷ 3A-B =3(x‹+x€-x-5)-(2x‹-2x€+3x)

=3x‹+3x€-3x-15-2x‹+2x€-3x

=x‹+5x€-6x-15

4 ⑴ A+3B =(-x€+3xy-5y€)+3(2x€+xy+3y€)

=-x€+3xy-5y€+6x€+3xy+9y€

=5x€+6xy+4y€

⑵ 2A-B =2(-x€+3xy-5y€)-(2x€+xy+3y€)

=-2x€+6xy-10y€-2x€-xy-3y€

=-4x€+5xy-13y€

⑶ 3A+B =3(-x€+3xy-5y€)+(2x€+xy+3y€)

=-3x€+9xy-15y€+2x€+xy+3y€

=-x€+10xy-12y€

⑷ 3A-2B =3(-x€+3xy-5y€)-2(2x€+xy+3y€)

=-3x€+9xy-15y€-4x€-2xy-6y€

=-7x€+7xy-21y€

1

| 다항식의 연산

1

다항식의 덧셈과 뺄셈

개념 확인

8쪽~9쪽

1 ⑴ 3x€y‹+2xy-5y€+1 ⑵ 1-5y€+2xy+3x€y‹

⑶ 3x€y‹-5y€+2xy+1 ⑷ 1+2xy-5y€+3x€y‹

2 ⑴ 3x€-2x+2 ⑵ 3x€-10x+7

2 ⑴ A+B =(2x€-4x+3)+(x€+2x-1)

=2x€-4x+3+x€+2x-1

=(2x€+x€)+(-4x+2x)+3-1

=3x€-2x+2

⑵ 2A-B =2(2x€-4x+3)-(x€+2x-1)

=4x€-8x+6-x€-2x+1

=(4x€-x€)+(-8x-2x)+6+1

=3x€-10x+7

STEP

1

개념 드릴

| 10쪽 |

1 ⑴ 3x€-x+1 ⑵ 4x‹+x€-5x+2

1 ⑶ -x€+(2y+1)x+3y€-5 ⑷ 2x€-4xy+y€+2

2 ⑴ 5+x-3x€ ⑵ 4-3x+2x€+x‹

1 ⑶ -2y-xy+4x€+x‹ ⑷ y€+(3y-1)x+2x€

3 ⑴ 5x‹-3x€+5x-5 ⑵ -3x‹+5x€-7x-5

1 ⑶ 4x‹+x-10 ⑷ x‹+5x€-6x-15

4 ⑴ 5x€+6xy+4y€ ⑵ -4x€+5xy-13y€

1 ⑶ -x€+10xy-12y€ ⑷ -7x€+7xy-21y€

STEP

2

필수 유형

| 11쪽 |

01-1  ⑴ -8x€+2xy+16y€ ⑵ 24x€-12xy-6y€

|해결 전략 | 먼저 괄호를 풀고 동류항끼리 모아서 간단히 정리한다.

1 ⑷ 동류항끼리 모아서 간단히 한 후 x에 대하여 내림차순으로 정리

2xy-1+2x€-6xy+3+y€ =-4xy+2+2x€+y€

-6xy

2xy

-1

+3

=2(3x€-2xy+4y€-5x€+3xy-y€-2x€+5y€)

=2{(3x€-2xy+4y€)-(5x€-3xy+y€)-(2x€-5y€)}

하면

하면

=2x€-4xy+y€+2

2 ⑷ 동류항끼리 모아서 간단히 한 후 x에 대하여 오름차순으로 정리

2x€-xy+y€+4xy-x =2x€+3xy+y€-x

-xy +4xy

=6A+2(-3A+2B+C)

=y€+(3y-1)x+2x€

=6A-6A+4B+2C

⑴ A-{B+2C-(A-B)}

=A-(B+2C-A+B)

=A-(-A+2B+2C)

=A+A-2B-2C

=2(A-B-C)

=2(-4x€+xy+8y€)

=-8x€+2xy+16y€

⑵ 6A+2{B+C-(3A-B)}

=6A+2(B+C-3A+B)

=4B+2C

=4(5x€-3xy+y€)+2(2x€-5y€)

=20x€-12xy+4y€+4x€-10y€

=24x€-12xy-6y€

3 ⑴ A+2B =(x‹+x€-x-5)+2(2x‹-2x€+3x)

=x‹+x€-x-5+4x‹-4x€+6x

=5x‹-3x€+5x-5

002 정답과 해설

주어진 식에 세 다항식 A, B, C를 바로 대입하여 계산해도 되지만, 주어진

식을 먼저 간단히 정리한 후 세 다항식 A, B, C를 대입하는 것이 계산 실수

참고

를 줄일 수 있다.

3 ⑴ ① a€+b€ =(a-b)€+2ab

=2€+2_(-1)=2

② a‹-b‹ =(a-b)‹+3ab(a-b)

=2‹+3_(-1)_2=2

01-2  -x‹+6x€-10x+10

|해결 전략 | X를 A, B에 대한 식으로 나타낸 후 다항식 X를 구한다.

⑵ a€+b€+c€ =(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)

=3€-2_2=5

개념 확인

12쪽~14쪽

3 ⑴ 4a€-4+

⑵ x€-25y€ ⑶ 6x€-x-2 ⑷ x›-16

1

a€

A-2(X-B)=3A에서

A-2X+2B=3A, 2X=-2A+2B

∴ X =-A+B

=-(x‹-3x€+x-4)+(3x€-9x+6)

=-x‹+3x€-x+4+3x€-9x+6

=-x‹+6x€-10x+10

2

다항식의 곱셈

1 ⑴ 6x€-13x-5 ⑵ 2x€+x€y+xy+2xy€-6y€

2 ⑴ a€+b€+4c€+2ab+4bc+4ca ⑵ x‹+9x€+27x+27

⑶ a‹-6a€b+12ab€-8b‹ ⑷ x‹+64

⑸ x‹+2x€-5x-6 ⑹ x›+x€+1

3 ⑴ ① 2 ② 2 ⑵ 5

1 ⑴ (2x-5)(3x+1)

=6x€+2x-15x-5

=6x€-13x-5

⑵ (x+2y)(2x+xy-3y)

=2x€+x€y-3xy+4xy+2xy€-6y€

=2x€+x€y+xy+2xy€-6y€

2 ⑴ (a+b+2c)€

=a€+b€+(2c)€+2_a_b+2_b_2c+2_2c_a

=a€+b€+4c€+2ab+4bc+4ca

⑵ (x+3)‹ =x‹+3_x€_3+3_x_3€+3‹

=x‹+9x€+27x+27

⑶ (a-2b)‹ =a‹-3_a€_2b+3_a_(2b)€-(2b)‹

=a‹-6a€b+12ab€-8b‹

⑷ (x+4)(x€-4x+16) =(x+4)(x€-4_x+4€)

=x‹+4‹

=x‹+64

⑸ (x+1)(x-2)(x+3)

STEP

1

개념 드릴

| 15쪽 |

1 ⑴ -a‡ ⑵ 12a›bﬁ ⑶ xﬂyﬁ ⑷ -27x°y›

2 ⑴ -2x‹+2x ⑵ -6xﬁ+3x›+3x€

2 ⑶ a‹b-2a€b-ab‹ ⑷ -2x‹+2x€y€+3xy-3y‹

2 ⑸ 3a€+8ab-3b€ ⑹ x‹-2x€y+2xy€-y‹

4 ⑴ a€+b€+4c€-2ab-4bc+4ca ⑵ 8a‹-12a€b+6ab€-b‹

2 ⑶ 8x‹-1 ⑷ x‹y‹+8 ⑸ a‹-b‹+c‹+3abc

2 ⑹ x›+4x€y€+16y›

1 ⑴ (-a)‹_a›=-a‹_a›=-a‡

⑵ (-2ab€)€_3a€b =4a€b›_3a€b

=12a›bﬁ

⑶ x€y‹_(-x€y)€=x€y‹_x›y€=xﬂyﬁ

⑷ (-xy)€_(-3x€)‹_y€ =x€y€_(-27xﬂ)_y€

=-27x°y›

2 ⑸ (3a-b)(a+3b)

=3a€+9ab-ab-3b€

=3a€+8ab-3b€

⑹ (x€-xy+y€)(x-y)

=x‹-x€y-x€y+xy€+xy€-y‹

=x‹-2x€y+2xy€-y‹

3 ⑴ {2a-;a!;}

€

€=(2a)€-2_2a_;a!;+{;a!;}

=4a€-4+

1

a€

⑵ (x+5y)(x-5y) =x€-(5y)€

=x€-25y€

=x‹+(1-2+3)x€+{1_(-2)+(-2)_3+3_1}x

⑶ (2x+1)(3x-2)

=x‹+2x€-5x-6

=6x€-x-2

⑹ (x€+x+1)(x€-x+1) =(x€+x_1+1€)(x€-x_1+1€)

⑷ (x-2)(x+2)(x€+4) =(x€-4)(x€+4)

+1_(-2)_3

=2_3_x€+{2_(-2)+1_3}x+1_(-2)

=x›+x€_1€+1›

=x›+x€+1

=(x€)€-4€

=x›-16

1 다항식의 연산 003

4 ⑴ (a-b+2c)€

=a€+(-b)€+(2c)€+2_a_(-b)

02-1  ⑴ x€+4y€+4xy-2x-4y+1

⑵ 27x‹+54x€y+36xy€+8y‹ ⑶ 8x‹-27

+2_(-b)_2c+2_2c_a

⑷ x‹+8y‹+27z‹-18xyz ⑸ x°-y°

=a€+b€+4c€-2ab-4bc+4ca

⑵ (2a-b)‹

|해결 전략 | 곱셈 공식을 이용하여 주어진 식을 전개한다.

⑴ (x+2y-1)€ =x€+(2y)€+(-1)€+2_x_2y

=(2a)‹-3_(2a)€_b+3_2a_b€-b‹

+2_2y_(-1)+2_(-1)_x

=8a‹-12a€b+6ab€-b‹

=x€+4y€+4xy-2x-4y+1

⑶ (2x-1)(4x€+2x+1) =(2x)‹-1‹

⑵ (3x+2y)‹=(3x)‹+3_(3x)€_2y+3_3x_(2y)€+(2y)‹

⑷ (xy+2)(x€y€-2xy+4) =(xy+2){(xy)€-xy_2+2€}

⑶ (2x-3)(4x€+6x+9) =(2x-3){(2x)€+2x_3+3€}

=27x‹+54x€y+36xy€+8y‹

=(2x)‹-3‹

=8x‹-27

⑸ (a-b+c)(a€+b€+c€+ab+bc-ca)

⑷ (x+2y+3z)(x€+4y€+9z€-2xy-6yz-3zx)

=(a-b+c){a€+(-b)€+c€-a_(-b)-(-b)_c-c_a}

=(x+2y+3z){x€+(2y)€+(3z)€-x_2y-2y_3z-3z_x}

=a‹+(-b)‹+c‹-3_a_(-b)_c

=x‹+(2y)‹+(3z)‹-3_x_2y_3z

=a‹-b‹+c‹+3abc

⑹ (x€+2xy+4y€)(x€-2xy+4y€)

=x‹+8y‹+27z‹-18xyz

⑸ (x-y)(x+y)(x€+y€)(x›+y›)

={x€+x_2y+(2y)€}{x€-x_2y+(2y)€}

=(x€-y€)(x€+y€)(x›+y›)

=x›+x€_(2y)€+(2y)›

=x›+4x€y€+16y›

=(x›-y›)(x›+y›)

=x°-y°

=8x‹-1

=(xy)‹+2‹

=x‹y‹+8

STEP

2

필수 유형

| 16쪽~21쪽 |

(x+2y)‹(x-y)

={x‹+3_x€_2y+3_x_(2y)€+(2y)‹}(x-y)

02-2  5

|해결 전략 | 먼저 (x+2y)‹을 전개한 후 주어진 식에서 x‹y의 계수를 구한다.

01-1  ⑴ -15 ⑵ -10

|해결 전략 | 특정항이 나오는 항들만 전개한다.

⑴ (x€-3x+5)(2x€-x+1)의 전개식에서

x‹항은 x€_(-x)-3x_2x€=-7x‹

x항은 -3x_1+5_(-x)=-8x

⑵ (x€-2x+4)(x‹-x€-3)의 전개식에서

x›항은 x€_(-x€)-2x_x‹=-3x›

∴ a=-7

∴ b=-8

∴ a+b=-15

∴ a=-3

∴ b=-7

∴ a+b=-10

01-2  6

|해결 전략 | x‹항이 나오는 항들만 전개한다.

x‹의 계수가 -5이므로

1-k=-5

∴ k=6

004 정답과 해설

x€항은 x€_(-3)+4_(-x€)=-7x€

=X€-2X-3

(x€-kx+3)(x‹+x€-2x+1)의 전개식에서

=x€-X€

x‹항은 x€_(-2x)-kx_x€+3_x‹=(1-k)x‹

=(x‹+6x€y+12xy€+8y‹)(x-y)

의 전개식에서 x‹y항은

x‹_(-y)+6x€y_x=5x‹y

따라서 x‹y의 계수는 5이다.

03-1  ⑴ x›+2x‹-x€-2x-3

⑶ x›+2x‹-11x€-12x

⑵ x€-y€-z€+2yz

|해결 전략 | ⑴, ⑵ 공통부분을 X로 치환하여 전개한다.

⑶ 공통부분이 생기도록 식을 변형한 후 치환하여 전개한다.

⑴ (x€+x+1)(x€+x-3)

=(X+1)(X-3)

x€+x=X로 치환

=(x€+x)€-2(x€+x)-3

X=x€+x 대입

=x›+2x‹+x€-2x€-2x-3

=x›+2x‹-x€-2x-3

⑵ (x+y-z)(x-y+z)

={x+(y-z)}{x-(y-z)}

=(x+X)(x-X)

y-z=X로 치환

=x€-(y-z)€

X=y-z 대입

=x€-(y€-2yz+z€)

=x€-y€-z€+2yz

⑶ x(x+1)(x-3)(x+4)

={x(x+1)}{(x-3)(x+4)}

=(x€+x)(x€+x-12)

=X(X-12)

x€+x=X로 치환

=X€-12X

=(x€+x)€-12(x€+x)

X=x€+x 대입

=x›+2x‹+x€-12x€-12x

=x›+2x‹-11x€-12x

04-1  ⑴ 4 ⑵ 13 ⑶ 20

|해결 전략 | ⑴ 곱셈 공식의 변형을 이용하여 식의 값을 구한다.

⑵, ⑶ 곱셈 공식의 변형을 이용하여 먼저 xy, ab의 값을 구한다.

⑴ a‹+b‹=(a+b)‹-3ab(a+b)에서

16=4‹-3ab_4, 12ab=48

∴ ab=4

⑵ x‹+y‹=(x+y)‹-3xy(x+y)에서

35=5‹-3xy_5, 15xy=90

∴ xy=6

∴ x€+y€ =(x+y)€-2xy

=5€-2_6=13

⑶ a€+b€=(a-b)€+2ab에서

8=2€+2ab, 2ab=4

∴ ab=2

∴ a‹-b‹ =(a-b)‹+3ab(a-b)

=2‹+3_2_2=20

04-2  ⑴ ‘ß13 ⑵ 36

|해결 전략 | 곱셈 공식의 변형을 이용하여 식의 값을 구한다.

⑴ {x+;x!;}

€={x-;x!;}

€+4=3€+4=13

∴ x+;x!;=’ß13 (∵ x>0)

⑵ x‹-

1

x‹

={x-;x!;}

‹+3{x-;x!;}=3‹+3_3=36

05-2  1

1

a

|해결 전략 |

ab+bc+ca의 값을 구한다.

+

+

=

1

c

ab+bc+ca

abc

1

b

이므로 곱셈 공식의 변형을 이용하여

a€+b€+c€=(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)에서

18=4€-2(ab+bc+ca)

∴ ab+bc+ca=-1

∴ 1

a

+

+

=

1

b

1

c

ab+bc+ca

abc

=

-1

-1

=1

06-1  999902

|해결 전략 | 반복되는 수를 같은 문자로 생각한다.

100=a로 놓으면

101_(10000-100+1)-99 =(a+1)(a€-a+1)-(a-1)

=(a‹+1)-(a-1)=a‹-a+2

=100‹-100+2=999902

06-2  ;1@2%8%;

|해결 전략 | (a-b)(a+b)=a€-b€을 이용하기 위하여 주어진 식에 2{1-;2!;}

주어진 식에 2{1-;2!;}=1을 곱하면

1

2› }=2{1-

2{1-;2!;}{1+;2!;}{1+

1

2€ }{1+

을 곱한다.

1

2› }

1

2€ }{1+

1

2› }

1

2€ }{1+

1

2› }{1+

1

2° }

2°-1

2°

=;1@2%8%;

=2{1-

=2{1-

=2_

3

다항식의 나눗셈

개념 확인

22쪽~23쪽

1 ⑴ 몫: x+3, 나머지: 2 ⑵ 몫: 2x+2, 나머지: -1

05-1  ⑴ -6 ⑵ 32 ⑶ 52

|해결 전략 | 곱셈 공식의 변형을 이용하여 식의 값을 구한다.

⑴ x€+y€+z€=(x+y+z)€-2(xy+yz+zx)에서

16=2€-2(xy+yz+zx)

∴ xy+yz+zx=-6

⑵ x‹+y‹+z‹ =(x+y+z)(x€+y€+z€-xy-yz-zx)+3xyz

=2{16-(-6)}+3_(-4)

=32

⑶ x€y€+y€z€+z€x€ =(xy)€+(yz)€+(zx)€

=(xy+yz+zx)€-2(xy€z+yz€x+zx€y)

=(xy+yz+zx)€-2xyz(x+y+z)

=(-6)€-2_(-4)_2

=52

2 ⑴ 몫: 2x€-2x+4, 나머지: -9

2 ⑵ 몫: ;3@;x€-x+1, 나머지: -2

1 ⑴

x +3

x+1œ∑x€+4x+5

x€+ x

3x+5

3x+3

2

∴ 몫: x+3, 나머지: 2

1 다항식의 연산 005

∑

∑

⑵

2x +2

x-1œ∑2x€

-3

2x€-2x

2x-3

2x-2

-1

∴ 몫: 2x+2, 나머지: -1

2 ⑴ -2 2

2

-4

2 -2

0 -1

4 -8

4 -9

∴ 몫: 2x€-2x+4, 나머지: -9

⑵ -2 2

1 -3

-4

2 -3

4

6 -6

3 -2

2x‹+x€-3x+4=(x+2)(2x€-3x+3)-2

=3(x+2){;3@;x€-x+1}-2

=(3x+6){;3@;x€-x+1}-2

∴ 몫: ;3@;x€-x+1, 나머지: -2

STEP

1

개념 드릴

1 풀이 참조

2 ⑸ 몫: x€-;2%;x, 나머지: -1

1 ⑴

x€

+4

x-2œ∑x‹-2x€+4x+1

x‹-2x€

4x+1

4x-8

9

Q=x€+4, R=9이므로

x‹-2x€+4x+1=(x-2)(x€+4)+9

⑵

4x€-5x + 5

x+2œ∑4x‹+3x€- 5x+ 2

4x‹+8x€

∑ -5x€- 5x

-5x€-10x

5x+ 2

5x+10

-8

Q=4x€-5x+5, R=-8이므로

4x‹+3x€-5x+2=(x+2)(4x€-5x+5)-8

006 정답과 해설

⑶

2x€+2x +5

x-1œ∑2x‹

+3x+4

2x‹-2x€

2x€+3x

2x€-2x

5x+4

5x-5

9

Q=2x€+2x+5, R=9이므로

2x‹+3x+4=(x-1)(2x€+2x+5)+9

⑷

2x +1

x€+x+1œ∑2x‹+3x€+2x-1

2x‹+2x€+2x

-1

x€

x€+ x+1

– x-2

Q=2x+1, R=-x-2이므로

2x‹+3x€+2x-1=(x€+x+1)(2x+1)-x-2

2 ⑴ -1 2 -3

-2

2 -5

4

1

5 -9

9 -8

∴ 몫: 2x€-5x+9, 나머지: -8

⑵ 2 1

0 -6

2

2 -2

8

4 -4

4

1

∴ 몫: x€+2x-2, 나머지: 4

⑶ 3 2 -5

6

1

2

2

0

9

3

3 11

| 24쪽 |

⑷ -2 1

0 -2

-2

1 -2

3

4 -4

2 -1

x‹-2x+3=(x+2)(x€-2x+2)-1

=2(x+2){;2!;x€-x+1}-1

=(2x+4){;2!;x€-x+1}-1

∴ 몫: ;2!;x€-x+1, 나머지: -1

⑸ 1 2 -7

2 -5

5 -1

0

0 -1

2 -5

2x‹-7x€+5x-1=(x-1)(2x€-5x)-1

=2(x-1){x€-;2%;x}-1

=(2x-2){x€-;2%;x}-1

∴ 몫 : x€-;2%;x, 나머지: -1

2 ⑴ 몫: 2x€-5x+9, 나머지: -8 ⑵ 몫: x€+2x-2, 나머지: 4

2 ⑶ 몫: 2x€+x+3, 나머지: 11 ⑷ 몫: ;2!;x€-x+1, 나머지: -1

∴ 몫: 2x€+x+3, 나머지: 11

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

STEP

2

필수 유형

| 25쪽~26쪽 |

3x‹-5x€+2x={x-;3@;}(3x€-3x)

01-1  a=-1, b=2

|해결 전략 | (x›-2x‹+x€-x+1)/(x€-x-1)을 직접 계산한다.

=3{x-;3@;}(x€-x)

=(3x-2)(x€-x)

∴ 몫: x€-x, 나머지: 0

한다.

02-2  몫: ;3!;Q(x), 나머지: R

|해결 전략 | ÷f(x)={x+;aB;}÷Q(x)+R=(ax+b)_;a!;÷Q(x)+R임을 이용

x€- x+1

x€-x-1œ∑x›-2x‹+ x€- x+1

x›- x‹- x€

∑ – x‹+2x€- x

– x‹+ x€+ x

x€-2x+1

x€- x-1

– x+2

따라서 몫이 x€-x+1, 나머지가 -x+2이므로

a=-1, b=2

÷f(x)={x+;3@;}÷Q(x)+R=;3!;(3x+2)Q(x)+R

=(3x+2)_;3!;Q(x)+R

∴ 몫: ;3!;Q(x), 나머지: R

01-2  몫: x-1, 나머지: -x

|해결 전략 | 다항식 A를 다항식 B로 나누었을 때의 몫을 Q, 나머지를 R라 하면

A=BQ+R임을 이용한다.

다항식 A를 x+2로 나누었을 때의 몫이 x€-2x-1, 나머지가 5이

따라서 다항식 A를 x€+x-3으로 나누었을 때의 몫과 나머지는

므로

A =(x+2)(x€-2x-1)+5

=x‹-5x+3

x -1

x€+x-3 œ∑x‹ -5x+3

x‹+x€-3x

∑ -x€-2x+3

-x€- x+3

– x

∴ 몫: x-1, 나머지: -x

02-1  ⑴ 몫: x€+2x-3, 나머지: -2

⑵ 몫: x€-x, 나머지: 0

|해결 전략 | 조립제법을 이용하여 몫과 나머지를 구한다.

⑴ 조립제법을 이용하여

2x‹+5x€-4x-5를 x+;2!;로

나누면 오른쪽과 같으므로

-;2!;

2

2

5 -4 -5

-1 -2

3

4 -6 -2

2x‹+5x€-4x-5={x+;2!;}(2x€+4x-6)-2

=2{x+;2!;}(x€+2x-3)-2

=(2x+1)(x€+2x-3)-2

∴ 몫: x€+2x-3, 나머지: -2

⑵ 조립제법을 이용하여

3x‹-5x€+2x를 x-;3@;로 나누면

오른쪽과 같으므로

;3@;

3 -5

2

2 -2

0

3 -3

0

0

0

STEP

3

유형 드릴

| 27쪽~29쪽 |

1-1  -x€+4x+7

|해결 전략 | 먼저 괄호를 풀고 동류항끼리 모아서 간단히 정리한다.

B-(C-2A) =B-C+2A

=2A+B-C

=2(2x+1)+(x€+2)-(2x€-3)

=4x+2+x€+2-2x€+3

=-x€+4x+7

참고

일반적으로 다항식의 연산의 결과는 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다.

1-2  11x€-2xy+4y€

|해결 전략 | X를 A, B에 대한 식으로 나타낸 후 다항식 X를 구한다.

X+2(A-2B)=3A에서 X+2A-4B=3A

∴ X =A+4B

=(3x€+2xy-4y€)+4(2x€-xy+2y€)

=3x€+2xy-4y€+8x€-4xy+8y€

=11x€-2xy+4y€

2-1  12

|해결 전략 | x‹항이 나오는 항들만 전개한다.

x‹항은 2x€_3x+3x_2x€=12x‹

따라서 x‹의 계수는 12이다.

(2x€+3x-5)€, 즉 (2x€+3x-5)(2x€+3x-5)의 전개식에서

1 다항식의 연산 007

∑

∑

∑

2-2  5

|해결 전략 | x€, x‹항이 나오는 항들만 전개하여 a+b, ab의 값을 구한다.

(x‹+ax€+3)(x€+x+b)의 전개식에서

x€항은 ax€_b+3_x€=(ab+3)x€

x‹항은 x‹_b+ax€_x=(a+b)x‹

x€의 계수와 x‹의 계수가 모두 1이므로

ab+3=1, a+b=1

∴ a+b=1, ab=-2

∴ a€+b€=(a+b)€-2ab=1€-2_(-2)=5

3-1  ②

|해결 전략 | 좌변을 전개한 후 우변과 같은지 비교한다.

① (a-b)(a+b)=a€-b€

€-

② (3a+2)(4a-5) =12a€-15a+8a-10

=12a€-7a-10

③ (x-3y)‹ =x‹-3_x€_3y+3_x_(3y)€-(3y)‹

=x‹-A9x€y+27xy€-27y‹

④ (a+3)(a€-3a+9) =(a+3)(a€-a_3+3€)

‹+

=a‹+27

⑤ (x-2y+1)€=x€+(-2y)€+1€+2_x_(-2y)

=x€+4y€-4xy+A2x-4y+1

x-4y

따라서 옳은 것은 ②이다.

+2_(-2y)_1+2_1_x

3-2  ③

|해결 전략 | 좌변을 전개한 후 우변과 같은지 비교한다.

① (-2a+3b)(2a-3b) =-(2a-3b)€

② (x€-3x+5)(2x-1) =2x‹-x€-6x€+3x+10x-5

=-(4a€-12ab+9b€)

=-

=-4a€+12ab-9b€

+12ab

=2x‹-7x€+13x-5

13x

③ (3x-2y)‹ =(3x)‹-3_(3x)€_2y+3_3x_(2y)€-(2y)‹

=27x‹-54x€y+36xy€-8y‹

④ (a-4)(a€+4a+16) =(a-4)(a€+a_4+4€)

-64

=a‹-64

⑤ (a-1)(a+1)(a€-1)=(a€-1)€=a›-2a€+1

2a€+

따라서 옳은 것은 ③이다.

4-1  -1

|해결 전략 | 공통부분을 X로 치환하여 전개한다.

(2x€+x-5)(2x€+x+2)

=(X-5)(X+2)

2x€+x=X로 치환

=X€-3X-10

=(2x€+x)€-3(2x€+x)-10

X=2x€+x 대입

=4x›+4x‹+x€-6x€-3x-10

=4x›+4x‹-5x€-3x-10

따라서 a=4, b=-5이므로 a+b=-1

008 정답과 해설

다른 풀이

(2x€+x-5)(2x€+x+2)의 전개식에서

x‹항은 2x€_x+x_2x€=4x‹

∴ a=4

x€항은 2x€_2+x_x-5_2x€=-5x€

∴ b=-5

∴ a+b=-1

4-2  35

|해결 전략 | 공통부분이 생기도록 식을 변형한 후 치환하여 전개한다.

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)

={(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)}

=(x€+5x+4)(x€+5x+6)

=(X+4)(X+6)

x€+5x=X로 치환

=X€+10X+24

=(x€+5x)€+10(x€+5x)+24

X=x€+5x 대입

=x›+10x‹+25x€+10x€+50x+24

=x›+10x‹+35x€+50x+24

따라서 x€의 계수는 35이다.

5-1  26

|해결 전략 | 곱셈 공식의 변형을 이용하여 x‹+y‹의 값을 구한다.

x+y=2, xy=-3이므로

x‹+y‹ =(x+y)‹-3xy(x+y)

=2‹-3_(-3)_2=26

5-2  4

|해결 전략 | 곱셈 공식의 변형을 이용하여 먼저 (x-y)€의 값을 구한다.

x+y=6, xy=5이므로

(x-y)€ =(x+y)€-4xy

=6€-4_5=16

∴ x-y=4 (∵ x>y)

6-1  14

|해결 전략 | a+b, ab의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용한다.

a=2+’3, b=2-‘3이므로

a+b=4, ab=1

∴ ;bA;+;aB;=

a€+b€

ab

=

(a+b)€-2ab

ab

=

4€-2_1

1

=14

6-2  14

|해결 전략 | x-y, xy의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용한다.

x=’2+1, y=’2-1이므로

x-y=2, xy=1

∴ x‹-y‹ =(x-y)‹+3xy(x-y)

=2‹+3_1_2=14

7-1  2’2

|해결 전략 | 곱셈 공식의 변형을 이용하여 먼저 {a+

€의 값을 구한다.

1

a }

{a+;a!;}

€={a-;a!;}

€+4=2€+4=8

∴ a+;a!;=2’2 (∵ a>0)

9-2  10

|해결 전략 | (a-b)(a+b)=a€-b€을 이용하기 위하여 주어진 식의 좌변에

;2!;(3-1)을 곱한다.

(3+1)(3€+1)(3›+1)=;2!;(3-1)(3+1)(3€+1)(3›+1)

;2!;(3-1)=1

=;2!;(3€-1)(3€+1)(3›+1)

의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용한다.

따라서 a=2, b=8이므로 a+b=10

=;2!;(3›-1)(3›+1)

3°-1

2

=;2!;(3°-1)=

7-2  2’5

|해결 전략 | x+

1

x

{x+;x!;}

€=x€+

1

x€

+2=3+2=5

∴ x+;x!;=’5 (∵ x>0)

∴ x‹+

1

x‹

‹-3{x+;x!;}

={x+;x!;}

=(‘5 )‹-3_’5=2’5

8-1  36

|해결 전략 | xy+yz+zx의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용한다.

(x+y+z)€=x€+y€+z€+2(xy+yz+zx)에서

6€=14+2(xy+yz+zx)

∴ xy+yz+zx=11

∴ x‹+y‹+z‹ =(x+y+z)(x€+y€+z€-xy-yz-zx)+3xyz

=6_(14-11)+3_6

=36

8-2  4

|해결 전략 | xy+yz+zx의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용한다.

xy+yz+zx

;x!;+;y!;+;z!;=0에서

xyz

xy+yz+zx=0 (5 xyz+0)

=0이므로

∴ x€+y€+z€ =(x+y+z)€-2(xy+yz+zx)

=2€-2_0=4

a⁄ﬂ=100을 대입한다.

(a-1)(a+1)(a€+1)(a›+1)(a°+1)

=(a€-1)(a€+1)(a›+1)(a°+1)

=(a›-1)(a›+1)(a°+1)

=(a°-1)(a°+1)

=a⁄ﬂ-1

이때, a⁄ﬂ=100이므로

a⁄ﬂ-1=100-1=99

10-1  3

|해결 전략 | 직육면체의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이를 각각 a, b, c로 놓고 a,

c

b

a

b, c 사이의 관계식을 구한다.

직육면체의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이를

각각 a, b, c라 하면 모든 모서리의 길이의 합

이 20이므로

4(a+b+c)=20

∴ a+b+c=5

또, 직육면체의 겉넓이가 16이므로

∴ ab+bc+ca=8

2(ab+bc+ca)=16

이때, 직육면체의 대각선의 길이는 “ƒa€+b€+c€이고

a€+b€+c€ =(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)

=5€-2_8=9

따라서 직육면체의 대각선의 길이는 ‘9=3

10-2  60

|해결 전략 | 직사각형의 가로의 길이를 a, 세로의 길이를 b로 놓고 a, b 사이의 관

계식을 구한다.

직사각형의 가로의 길이를 a, 세로의 길이를 b라 하면 직사각형의 대

각선의 길이가 13이므로

a€+b€=13€=169

또, 직사각형의 둘레의 길이가 34이므로

2(a+b)=34

∴ a+b=17

이때, a€+b€=(a+b)€-2ab에서

169=17€-2ab

∴ ab=60

따라서 직사각형의 넓이는 60이다.

x +1

x€+4xœ∑x‹+5x€+4x+3

x‹+4x€

x€+4x

x€+4x

3

따라서 몫이 x+1이므로 a=1, b=1

∴ a+b=2

1 다항식의 연산 009

9-1  99

|해결 전략 | (a-b)(a+b)=a€-b€을 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후

11-1  2

|해결 전략 | (x‹+5x€+4x+3)/(x€+4x)를 직접 계산한다.

∑

∑

11-2  x€+x-2

|해결 전략 | 다항식 2x‹+4x€-7을 다항식 A, 몫, 나머지를 이용하여 나타낸다.

2x‹+4x€-7=A(2x+2)+2x-3이므로

A(2x+2) =(2x‹+4x€-7)-(2x-3)

=2x‹+4x€-2x-4

즉, 다항식 A는 다항식 2x‹+4x€-2x-4를 2x+2로 나누었을 때

의 몫이다.

x€+ x -2

2x+2œ∑2x‹+4x€-2x-4

2x‹+2x€

2x€-2x

2x€+2x

-4x-4

-4x-4

0

∴ A=x€+x-2

참고

A=BQ+R이다.

머지는 6이다.

x-2로 나누었으므로 c=2

a+4=2이므로 a=-2

d=2c=2_2=4

e=1+d=1+4=5

b+10=6이므로 b=-4

다항식 A를 다항식 B(B+0)로 나누었을 때의 몫이 Q, 나머지가 R이면

이때, A-R=BQ이므로 B는 A-R를 Q로 나누었을 때의 몫이 된다.

12-1  5

|해결 전략 | 주어진 조립제법에서 각 문자에 해당되는 값을 찾는다.

a+3=b

∴ a=3

⑵ ① 계수비교법

조립제법을 이용하여 다항식

2x‹+ax€+x+b를 x-2로 나누었을 때의

몫과 나머지를 구하면 몫은 2x€+2x+e, 나

c 2 a 1

b

4 d 10

6

e

2

2

32쪽~33쪽

| 항등식과 나머지정리

2

1

항등식

개념 확인

1 ⑴ a=3, b=2 ⑵ a=2, b=-5

2 ⑴ ① a=3, b=6 ② a=3, b=6

2 ⑵ ① a=5, b=-3 ② a=5, b=-3

2 ⑴ ① 계수비교법

주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면

ax+a+3=3x+b

양변의 동류항의 계수를 비교하면

a=3, a+3=b

∴ a=3, b=6

② 수치대입법

등식의 양변에 x=-1을 대입하면

3=-3+b

∴ b=6

등식의 양변에 x=0을 대입하면

주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면

(a+b)x-a-2b=2x+1

양변의 동류항의 계수를 비교하면

a+b=2, -a-2b=1

두 식을 연립하여 풀면 a=5, b=-3

② 수치대입법

등식의 양변에 x=1을 대입하면

-b=3

∴ b=-3

등식의 양변에 x=2를 대입하면

∴ a+b+c+d+e=-2-4+2+4+5=5

a=5

12-2  몫: x€-x-3, 나머지: -4

|해결 전략 | 다항식 P(x)를 몫과 나머지에 대한 등식으로 나타낸다.

다항식 P(x)를 x-;2%;로 나누었을 때의 몫이 2x€-2x-6, 나머지가

-4이므로

STEP

1

개념 드릴

| 34쪽 |

P(x)={x-;2%;}(2x€-2x-6)-4

=2{x-;2%;}(x€-x-3)-4

=(2x-5)(x€-x-3)-4

-4이다.

010 정답과 해설

따라서 P(x)를 2x-5로 나누었을 때의 몫은 x€-x-3, 나머지는

1 ⑴ _ ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ _

2 ⑴ a=-2, b=-3 ⑵ a=-1, b=2, c=0

1 ⑶ a=2, b=4 ⑷ a=5, b=2, c=2

3 ⑴ ① a=2, b=3 ② a=2, b=3

1 ⑵ ① a=1, b=-1 ② a=1, b=-1

1 ⑶ ① a=1, b=2, c=5 ② a=1, b=2, c=5

∑

∑

∑

a+1=0, b-2=0, c=0

∴ a=-1, b=2, c=0

(2k-1)x+(k+3)y=3k-5의 좌변을 k에 대하여 정리하면

1 ⑴ 주어진 등식은 x=-3일 때에만 성립하므로 항등식이 아니다.

⑵ 주어진 등식은 x에 어떤 값을 대입하여도 항상 성립하므로 항

이 등식은 x에 어떤 값을 대입하여도 항상 성립하므로 항등식

등식이다.

⑶ 주어진 등식의 좌변을 전개하면

x€+2x+1=x€+2x+1

이다.

⑷ 주어진 등식의 우변을 전개하면

x€+x+2=x€-x-2

이 식을 정리하면 2x=-4

이 등식은 x=-2일 때에만 성립하므로 항등식이 아니다.

2 ⑴ (a+2)x+b+3=0에서

a+2=0, b+3=0

∴ a=-2, b=-3

⑵ (a+1)x€+(b-2)x+c=0에서

⑶ 3ax+2b=6x+8에서

3a=6, 2b=8

∴ a=2, b=4

⑷ (a-1)x€+(b-3)x+4c=4x€-x+8에서

a-1=4, b-3=-1, 4c=8

∴ a=5, b=2, c=2

3 ⑴ ① 계수비교법

주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면

ax€+(-2a+b)x+a-2b=2x€-x-4

양변의 동류항의 계수를 비교하면

a=2, -2a+b=-1, a-2b=-4

∴ a=2, b=3

② 수치대입법

등식의 양변에 x=1을 대입하면

-b=-3

∴ b=3

등식의 양변에 x=2를 대입하면

a=2

⑵ ① 계수비교법

주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면

ax€+(-a+b)x-2b=x€-2x+2

양변의 동류항의 계수를 비교하면

a=1, -a+b=-2, -2b=2

∴ a=1, b=-1

② 수치대입법

등식의 양변에 x=0을 대입하면 -2b=2

∴ b=-1

등식의 양변에 x=2를 대입하면 2a=2

∴ a=1

⑶ ① 계수비교법

주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면

ax€+(-2a+b)x-2b+c=x€+1

양변의 동류항의 계수를 비교하면

a=1, -2a+b=0, -2b+c=1

∴ a=1, b=2, c=5

② 수치대입법

등식의 양변에 x=0을 대입하면 -2b+c=1

등식의 양변에 x=1을 대입하면 -a-b+c=2

등식의 양변에 x=2를 대입하면 c=5

∴ a=1, b=2, c=5

STEP

2

필수 유형

| 35쪽~37쪽 |

01-1  x=2, y=-1

|해결 전략 | 주어진 식의 좌변을 (

)k+(

) 꼴로 정리한다.

(2x+y)k+(-x+3y)=3k-5

이 등식이 k에 대한 항등식이므로

2x+y=3, -x+3y=-5

∴ x=2, y=-1

01-2  a=3, b=1, c=-1

|해결 전략 | 주어진 식의 좌변을 (

)x+(

)y+(

) 꼴로 정리한다.

a(2x+y)+b(x-2y)-1=7x+y+c의 좌변을 x, y에 대하여 정

리하면

(2a+b)x+(a-2b)y-1=7x+y+c

이 등식이 x, y에 대한 항등식이므로

2a+b=7, a-2b=1, -1=c

∴ a=3, b=1, c=-1

02-1  ⑴ a=3, b=1, c=-2 ⑵ a=1, b=1, c=2

⑶ a=1, b=-2, c=2

|해결 전략 | 전개하기 쉬우면 계수비교법을, 어려우면 수치대입법을 이용한다.

⑴ 주어진 등식의 우변을 전개하여 정리하면

3x€-5x=ax€-(2a-b)x+a-b+c

양변의 동류항의 계수를 비교하면

3=a, 5=2a-b, 0=a-b+c

∴ a=3, b=1, c=-2

⑵ 주어진 등식의 우변을 전개하여 정리하면

x‹+x-2=ax‹+(b-a)x€+(c-b)x-c

양변의 동류항의 계수를 비교하면

1=a, 0=b-a, 1=c-b, 2=c

∴ a=1, b=1, c=2

⑶ 등식의 양변에 x=0을 대입하면 4=-2b

∴ b=-2

등식의 양변에 x=1을 대입하면 6=3c

∴ c=2

등식의 양변에 x=-2를 대입하면 6=6a

∴ a=1

참고

⑶ 계수비교법을 이용할 수도 있지만 우변을 전개하는 것이 복잡하므로 수치

대입법을 이용하는 것이 편리하다.

2 항등식과 나머지정리 011

03-1  a=3, b=6

|해결 전략 | 삼차식을 이차식으로 나누었을 때의 몫을 일차식으로 놓는다.

2

나머지정리와 인수정리

두 식 x‹+ax€+bx-2, x€+2x+3의 최고차항의 계수가 모두 1이

개념 확인

38쪽~39쪽

므로 x‹+ax€+bx-2를 x€+2x+3으로 나누었을 때의 몫을

1 ⑴ 0 ⑵ 6

2 4

1 ⑴ f(-1)=-2-3-1+6=0

⑵ f {;2!;}=;4!;-;4#;+;2!;+6=6

2 f(1)=0에서 1+2-a+1=0

∴ a=4

x+c (c는 상수)로 놓자.

이때, 나머지가 x-5이므로

x‹+ax€+bx-2=(x€+2x+3)(x+c)+x-5

우변을 전개하여 정리하면

x‹+ax€+bx-2=x‹+(c+2)x€+(2c+4)x+3c-5

이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수를 비교하면

a=c+2, b=2c+4, -2=3c-5

c=1이므로 a=3, b=6

LECTURE

라 하면

다항식 f(x)를 다항식 g(x)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)

f(x)=g(x)Q(x)+R(x) (단, (R(x)의 차수)<(g(x)의 차수)) 이때, f(x)가 n차, g(x)가 m차이면 Q(x)는 (n-m)차이고, R(x)는 (m-1)차 이하의 식이다. 예를 들어 f(x)가 4차, g(x)가 2차이면 Q(x)=ax€+bx+c, R(x)=px+q로 놓고 항등식의 성질을 이용하여 Q(x), R(x)를 구한다. 03-2  a=1, b=-1 |해결 전략 | x‹의 계수가 2인 삼차식을 x€의 계수가 1인 이차식으로 나누었으므 로 몫을 x의 계수가 2인 일차식으로 놓는다. 한편, 나누어떨어진다는 것은 나머지 가 0임을 뜻한다. 2x‹+x€+ax+b의 최고차항의 계수가 2이고 x€+x+1의 최고차 항의 계수가 1이므로 2x‹+x€+ax+b를 x€+x+1로 나누었을 때 2x‹+x€+ax+b=2x‹+(c+2)x€+(c+2)x+c 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수를 비교하면 의 몫을 2x+c (c는 상수)로 놓자. 이때, 나머지가 0이므로 2x‹+x€+ax+b=(x€+x+1)(2x+c) 우변을 전개하여 정리하면 1=c+2, a=c+2, b=c c=-1이므로 a=1, b=-1 다른 풀이 직접 나눗셈을 하여 나머지가 0인 것을 이용한다. 2x-1 x€+x+1 œ∑2x‹+ x€+ 2x‹+2x€+ ∑ - x€+(a-2)x+b x-1 ax+b 2x - x€- (a-1)x+b+1 즉, (a-1)x+b+1=0 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 a-1=0, b+1=0 ∴ a=1, b=-1 012 정답과 해설 STEP 1 개념 드릴 | 40쪽 | 1 ⑴ 3 ⑵ -25 ⑶ -:¡8∞: 2 ⑴ -10 ⑵ 11 ⑶ ;2!; 3 ⑴ 1 ⑵ 3 ⑶ -1 4 ⑴ 1 ⑵ -4 ⑶ -1 1 ⑴ f(1)=1+1+2-1=3 ⑵ f(-3)=-27+9-6-1=-25 ⑶ f {-;2!;}=-;8!;+;4!;-1-1=-:¡8∞: 2 ⑴ f(-1)=-2-3-4-1=-10 ⑵ f(2)=16-12+8-1=11 ⑶ f {;2!;}=;4!;-;4#;+2-1=;2!; 3 ⑴ f(-1)=1에서 -1+a+2-1=1 ⑵ f(1)=3에서 2-a+4=3 ∴ a=3 ∴ a=1 ⑶ f {-;3!;}=2에서 ;9!;+;9A;-3+5=2 ;9A;=-;9!; ∴ a=-1 4 ⑴ f(-1)=0에서 -2-a+3=0 ⑵ f(3)=0에서 27+9a+9=0 ∴ a=1 ∴ a=-4 ⑶ f {;2!;}=0에서 ;2!;-;2A;-1=0 ∴ a=-1 ∑ STEP 2 필수 유형 | 41쪽~44쪽 | 03-1  5 |해결 전략 | f(ax+b)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 x 대신 a를 대입하여 01-1  a=10, b=1 |해결 전략 | 다항식 f(x)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 f(a)이다. f(x)=x‹+ax€+bx-2라 하면 나머지정리에 의하여 f(1)=10, f(-1)=6 f(1)=10에서 1+a+b-2=10 ∴ a+b=11 f(-1)=6에서 -1+a-b-2=6 ∴ a-b=9 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=10, b=1 åå ㉠ åå ㉡ 01-2  -10 |해결 전략 | 나머지정리에 의하여 f {-;3@;}=5임을 이용하여 먼저 상수 a의 값을 구한다. f(x)=-9x‹+ax+1에서 나머지정리에 의하여 f {-;3@;}=5이므로 2a 3 2a 3 +1=5, ;3*;- 따라서 f(x)=-9x‹-2x+1을 x-1로 나누었을 때의 나머지는 나 ∴ a=-2 =-;3$; 머지정리에 의하여 f(1)=-9-2+1=-10 ÷f(aa+b)의 값을 구한다. ÷f(2x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 ÷f(2_1)=÷f(2) 3x-1이므로 ÷f(x)를 2x€-3x-2로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나머지가 ÷÷f(x) =(2x€-3x-2)Q(x)+3x-1 =(2x+1)(x-2)Q(x)+3x-1 …… ㉠㉠의 양변에 x=2를 대입하면 ÷f(2)=3_2-1=5 다른 풀이 ㉠의 양변에 x 대신 2x를 대입하면 ÷f(2x) =(4x+1)(2x-2)Q(2x)+6x-1 =2(4x+1)(x-1)Q(2x)+6(x-1)+5 =(x-1){2(4x+1)Q(2x)+6}+5 따라서 ÷f(2x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 5이다. 03-2  20 |해결 전략 | f(ax+b)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 x 대신 a를 대입하여 ÷f(aa+b)의 값을 구한다. ÷f(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지가 4이므로 나머지정리에 의 02-1  -x+4 |해결 전략 | 다항식 f(x)를 이차식으로 나누었을 때의 나머지를 ax+b (a, b는 상수)로 놓는다. 한편, xf(x-2)를 x-5로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R …… ㉠ f(x)를 (x+4)(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 xf(x-2)=(x-5)Q(x)+R 하여 ÷f(3)=4 라 하면 양변에 x=5를 대입하면 R=5÷f(3)=5_4=20 (∵ ㉠) 따라서 구하는 나머지는 20이다. ax+b (a, b는 상수)라 하면 f(x)=(x+4)(x-2)Q(x)+ax+b 이때, 나머지정리에 의하여 f(-4)=8, f(2)=2 f(-4)=8에서 -4a+b=8 f(2)=2에서 2a+b=2 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=4 åå ㉠ åå ㉡ 따라서 f(x)를 (x+4)(x-2)로 나누었을 때의 나머지는 -x+4 이다. 상수)로 놓는다. 02-2  2x+3 |해결 전략 | 다항식 f(x)를 이차식으로 나누었을 때의 나머지를 ax+b (a, b는 f(x)를 x€-x-6으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면 f(x) =(x€-x-6)Q(x)+ax+b =(x+2)(x-3)Q(x)+ax+b 이때, 나머지정리에 의하여 f(-2)=-1, f(3)=9 f(-2)=-1에서 -2a+b=-1 f(3)=9에서 3a+b=9 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=3 04-1  a=-7, b=6 |해결 전략 | 다항식 ÷f(x)가 (x-a)(x-b)로 나누어떨어지면 ÷f(a)=0, ÷f(b)=0이다. ÷f(x)=x‹+ax+b라 하면 ÷f(x)가 (x-2)(x+3)으로 나누어떨어 지므로 ÷f(x)는 x-2, x+3으로 각각 나누어떨어진다. 따라서 인수정리에 의하여 ÷f(2)=0, f(-3)=0 ÷f(2)=0에서 8+2a+b=0 ∴ 2a+b=-8 ÷f(-3)=0에서 -27-3a+b=0 ∴ 3a-b=-27 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-7, b=6 다른 풀이 åå ㉠ åå ㉡ åå ㉠ åå ㉡ 다항식 x‹+ax+b가 (x-2)(x+3)으로 나누어떨어지므로 x‹+ax+b를 (x-2)(x+3)으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 따라서 f(x)를 x€-x-6으로 나누었을 때의 나머지는 2x+3이다. x‹+ax+b=(x-2)(x+3)Q(x) 따라서 조립제법을 이용하면 2 항등식과 나머지정리 013 2 -3 1 0 2 2 -3 1 -1 1 a 4 a+4 3 a+7 b 2a+8 2a+b+8 2a+b+8=0, a+7=0이므로 a=-7, b=6 ÷04-2  a=-9, b=12 |해결 전략 | 다항식 ÷f(x)가 (x-a)(x-b)를 인수로 가지면 ÷f(a)=0, ÷f(b)=0 이다. ÷f(x)=x›+ax€+bx-4라 하면 ÷f(x)는 x€-3x+2, 즉 (x-1)(x-2)를 인수로 갖는다. 따라서 ÷f(x)는 x-1과 x-2로 각각 나누어떨어지므로 인수정리에 1-2  -9 |해결 전략 | x를 y에 대한 식으로 나타낸 후 ax€+by€+6y+3=0에 대입한다. x-y=1에서 x=y+1 åå ㉠㉠을 ax€+by€+6y+3=0에 대입하면 a(y+1)€+by€+6y+3=0 ∴ (a+b)y€+(2a+6)y+a+3=0 이 등식이 y에 대한 항등식이므로 a+b=0, 2a+6=0, a+3=0 ∴ a=-3, b=3 ∴ ab=-9 2-1  -6 |해결 전략 | 좌변을 전개하여 양변의 동류항의 계수를 비교한다. 주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면 3x€+5x-2=(a+1)x€+(b-2)x+c-3 양변의 동류항의 계수를 비교하면 a+1=3, b-2=5, c-3=-2 따라서 a=2, b=7, c=1이므로 a-b-c=-6 åå ㉠ åå ㉡ 다항식 x›+ax€+bx-4가 (x-1)(x-2)로 나누어떨어지므로 x›+ax€+bx-4를 (x-1)(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 의 계수를 비교한다. 2-2  9 |해결 전략 | 우변을 전개하여 x에 대한 내림차순으로 정리한 후 양변의 동류항 의하여 ÷f(1)=0, f(2)=0 ÷f(1)=0에서 1+a+b-4=0 ∴ a+b=3 ÷f(2)=0에서 16+4a+2b-4=0 ∴ 2a+b=-6 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-9, b=12 다른 풀이 x›+ax€+bx-4=(x-1)(x-2)Q(x) 따라서 조립제법을 이용하면 1 2 1 1 1 a 1 0 1 1 a+1 2 3 a+7 3a+b+15 b a+1 a+b+1 2a+14 6 -4 a+b+1 a+b-3 a+b-3=0, 3a+b+15=0이므로 a=-9, b=12 주어진 등식의 우변을 전개하여 정리하면 3x€-ax-1=(b+c)x€-2(b+c)x+c 양변의 동류항의 계수를 비교하면 b+c=3, 2(b+c)=a, c=-1 따라서 a=6, b=4, c=-1이므로 a+b+c=9 다른 풀이 등식의 양변에 x=0을 대입하면 -1=c 등식의 양변에 x=1을 대입하면 2-a=-b 등식의 양변에 x=2를 대입하면 11-2a=c 따라서 a=6, b=4, c=-1이므로 a+b+c=9 3-1  a=-3, b=4 |해결 전략 | x에 대한 항등식이므로 양변에 x=-1, x=2를 대입한다. 등식의 양변에 x=-1을 대입하면 0=-1+a+b ∴ a+b=1 등식의 양변에 x=2를 대입하면 0=8+4a+b ∴ 4a+b=-8 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=4 다른 풀이 (x+1)(x-2)f(x)=x‹+ax€+b에서 (x€-x-2)f(x)=x‹+ax€+b 이때, f(x)=x+c (c는 상수)로 놓으면 (x€-x-2)(x+c)=x‹+ax€+b 좌변을 전개하여 정리하면 x‹+(c-1)x€-(c+2)x-2c=x‹+ax€+b 양변의 동류항의 계수를 비교하면 c-1=a, c+2=0, -2c=b c=-2이므로 a=-3, b=4 …… ㉠ …… ㉡ | 45쪽~47쪽 | (k+3)x+2(1+k)y+5k-1=0의 좌변을 k에 대하여 정리하면 )k+( ) 꼴로 정리한다. STEP 3 유형 드릴 1-1  -1 |해결 전략 | 주어진 식의 좌변을 ( (x+2y+5)k+(3x+2y-1)=0 이 등식이 k에 대한 항등식이므로 x+2y+5=0, 3x+2y-1=0 ∴ x=3, y=-4 ∴ x+y=-1 014 정답과 해설 3-2  a=7, b=12 |해결 전략 | x에 대한 항등식이므로 양변에 x€=3, x=-2를 대입한다. 우변을 전개하여 정리하면 2x‹+ax€+bx+3=2x‹+(c+2)x€+(c-2)x+2c+1 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수를 비교하면 등식의 양변에 x€=3을 대입하면 0=9-3a+b ∴ 3a-b=9 등식의 양변에 x=-2를 대입하면 0=16-4a+b ∴ 4a-b=16 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=7, b=12 …… ㉠ …… ㉡ a=c+2, b=c-2, 3=2c+1 c=1이므로 a=3, b=-1 ∴ a+b=2 등식의 양변에 x=1을 대입하면 32=aº+a¡+a™+ … +a¡º ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=3 ∴ ab=6 4-2  -40 |해결 전략 | 주어진 등식은 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 x에 대한 항등식 ÷f(x)=x‹-(a+3)x+7이라 하면 나머지정리에 의하여 4-1  33 |해결 전략 | 주어진 등식은 임의의 실수 x에 대하여 성립하므로 x에 대한 항등 식이다. 주어진 등식은 x에 대한 항등식이다. 등식의 양변에 x=0을 대입하면 -1=aº ∴ a¡+a™+a£+ … +a¡º =32-aº =32-(-1)=33 이다. 주어진 등식은 x에 대한 항등식이다. 등식의 양변에 x=1을 대입하면 1=aº+a¡+a™+ … +a¡™ 등식의 양변에 x=-1을 대입하면 81=aº-a¡+a™- … +a¡™ ㉠-㉡을 하면 -80=2(a¡+a£+a∞+a¶+aª+a¡¡) ∴ a¡+a£+a∞+a¶+aª+a¡¡=-40 …… ㉠ …… ㉡ 5-1  5 |해결 전략 | 나눗셈에 대한 등식을 세우고 f(1)=1임을 이용한다. 다항식 f(x)를 2x€-ax+1로 나누었을 때의 몫이 x+4, 나머지가 8x+3이므로 ÷f(x)=(2x€-ax+1)(x+4)+8x+3 이 등식의 양변에 x=1을 대입하면 ÷f(1)=(3-a)_5+11 이때, f(1)=1이므로 -5a+26=1 -5a=-25 ∴ a=5 5-2  2 |해결 전략 | x‹의 계수가 2인 삼차식을 x€의 계수가 1인 이차식으로 나누었으므 로 몫을 x의 계수가 2인 일차식으로 놓는다. 2x‹+ax€+bx+3의 최고차항의 계수가 2이고 x€+x+2의 최고차 항의 계수가 1이므로 2x‹+ax€+bx+3을 x€+x+2로 나누었을 때의 몫을 2x+c (c는 상수)로 놓자. 이때, 나머지가 -6x+1이므로 2x‹+ax€+bx+3=(x€+x+2)(2x+c)-6x+1 6-1  6 |해결 전략 | f(1)=2, ÷f(-1)=4임을 이용한다. ÷f(x)=x‹-ax+b에서 나머지정리에 의하여 ÷f(1)=2, f(-1)=4 ÷f(1)=2에서 1-a+b=2 ∴ a-b=-1 ÷f(-1)=4에서 -1+a+b=4 ∴ a+b=5 …… ㉠ …… ㉡ 6-2  25 |해결 전략 | ÷f(2)=f(4)임을 이용한다. ÷f(2)=f(4)이므로 8-2(a+3)+7=64-4(a+3)+7 2a=50 ∴ a=25 7-1  0 |해결 전략 | ÷f(-2)=3임을 이용하여 먼저 a의 값을 구한다. 다항식 ÷f(x)=x‹+x€+ax+1에서 나머지정리에 의하여 ÷f(-2)=3이므로 -8+4-2a+1=3, -2a=6 ∴ a=-3 따라서 ÷f(x)=x‹+x€-3x+1을 x-1로 나누었을 때의 나머지는 f(1)=1+1-3+1=0 7-2  -4 |해결 전략 | 나머지정리를 이용하여 a의 값을 구한 후 Q(-1)의 값을 구한다. 다항식 x‹+ax€-5x+3을 x-1로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머 지가 -2이므로 x‹+ax€-5x+3=(x-1)Q(x)-2 …… ㉠㉠의 양변에 x=1을 대입하면 1+a-5+3=-2 ∴ a=-1 따라서 ㉠은 x‹-x€-5x+3=(x-1)Q(x)-2 …… ㉡ 이때, Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 Q(-1)이므로 ㉡의 양변에 x=-1을 대입하면 -1-1+5+3=-2Q(-1)-2 2Q(-1)=-8 ∴ Q(-1)=-4 따라서 Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 -4이다. 다른 풀이 오른쪽과 같이 조립제법을 이용하여 x‹-x€-5x+3을 x-1로 나누었을 때의 몫 Q(x)를 구하면 1 1 -1 -5 3 0 -5 1 0 -5 -2 1 2 항등식과 나머지정리 015 따라서 Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 Q(x)=x€-5 Q(-1)=1-5=-4 8-1  -2x+1 |해결 전략 | 나머지를 ax+b (a, b는 상수)로 놓고 f(1)=-1, f(-2)=5임 을 이용한다. ÷f(x)를 x€+x-2로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면 ÷f(x) =(x€+x-2)Q(x)+ax+b =(x+2)(x-1)Q(x)+ax+b 이때, 나머지정리에 의하여 f(1)=-1, f(-2)=5 ÷f(1)=-1에서 a+b=-1 ÷f(-2)=5에서 -2a+b=5 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=1 따라서 f(x)를 x€+x-2로 나누었을 때의 나머지는 -2x+1이다. 8-2  -2 |해결 전략 | 나머지를 R(x)=ax+b (a, b는 상수)로 놓고 f(2)=-1, f(-3)=-6임을 이용한다. ÷f(x)를 (x-2)(x+3)으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지 R(x)를 ax+b (a, b는 상수)라 하면 ÷f(x)=(x-2)(x+3)Q(x)+ax+b 이때, 나머지정리에 의하여 f(2)=-1, f(-3)=-6 ÷f(2)=-1에서 2a+b=-1 ÷f(-3)=-6에서 -3a+b=-6 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-3 따라서 R(x)=x-3이므로 R(1)=-2 9-1  -x |해결 전략 | 나머지를 ax+b (a, b는 상수)로 놓고 f(1), f(3)의 값을 이용한다. f(x)를 (x-1)(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q¡(x), (x-2)(x-3)으로 나누었을 때의 몫을 Q™(x)라 하면 f(x)=(x-1)(x-2)Q¡(x)-2x+1 f(x)=(x-2)(x-3)Q™(x)-3 …… ㉠ …… ㉡ 이때, f(x)를 x€-4x+3, 즉 (x-1)(x-3)으로 나누었을 때의 몫 을 Q(x), 나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면 f(x)=(x-1)(x-3)Q(x)+ax+b ㉠에서 f(1)=-1, ㉡에서 f(3)=-3이므로 f(1)=a+b=-1, f(3)=3a+b=-3 두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=0 따라서 구하는 나머지는 -x이다. 016 정답과 해설 9-2  x-2 |해결 전략 | 나머지를 ax+b (a, b는 상수)로 놓고 f(-2), f(2)의 값을 이용 한다. f(x)를 x€+x-2, 즉 (x+2)(x-1)로 나누었을 때의 몫을 Q¡(x), x€-7x+10, 즉 (x-2)(x-5)로 나누었을 때의 몫을 Q™(x)라 하면 f(x)=(x+2)(x-1)Q¡(x)+5x+6 f(x)=(x-2)(x-5)Q™(x) …… ㉠ …… ㉡ 이때, f(x)를 x€-4, 즉 (x+2)(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면 f(x)=(x+2)(x-2)Q(x)+ax+b ㉠에서 f(-2)=-4, ㉡에서 f(2)=0이므로 f(-2)=-2a+b=-4, f(2)=2a+b=0 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=-2 따라서 구하는 나머지는 x-2이다. …… ㉠ …… ㉡ 참고 x€+x-2=(x+2)(x-1), x€-7x+10=(x-2)(x-5)이므로 f(-2), f(1), f(2), f(5)의 값을 알 수 있다. 10-1  8 |해결 전략 | f(ax+b)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 ÷f(aa+b)이다. ÷f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 2이므로 나머지정리에 의 한편, xf(x-3)을 x-4로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R라 …… ㉠ 하여 ÷f(1)=2 하면 …… ㉠ …… ㉡ xf(x-3)=(x-4)Q(x)+R 양변에 x=4를 대입하면 R=4÷f(1)=4_2=8 (∵ ㉠) 따라서 구하는 나머지는 8이다. 10-2  6 |해결 전략 | f(ax+b)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 ÷f(aa+b)이다. ÷f(x)를 x€-3x+2로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 ÷f(x) =(x€-3x+2)Q(x)+5x-4 =(x-1)(x-2)Q(x)+5x-4 …… ㉠ 한편, ÷÷f(3x+5)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 ÷f(3_(-1)+5)=÷f(2) ㉠에서 ÷÷f(2)=6이므로 구하는 나머지는 6이다. 다른 풀이 ㉠의 양변에 x 대신 3x+5를 대입하면 ÷f(3x+5) ={(3x+5)-1}{(3x+5)-2}Q(3x+5)+5(3x+5)-4 =(3x+4)(3x+3)Q(3x+5)+15x+21 =3(x+1)(3x+4)Q(3x+5)+15(x+1)+6 =(x+1){3(3x+4)Q(3x+5)+15}+6 따라서 ÷f(3x+5)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 6이다. 11-1  4 |해결 전략 | 다항식 f(x)가 x-a를 인수로 가지면 f(a)=0이다. f(x)=x‹+ax+2가 x+2를 인수로 가지므로 인수정리에 의하여 f(-2)=0 -8-2a+2=0 ∴ a=-3 따라서 f(x)=x‹-3x+2를 x-2로 나누었을 때의 나머지는 f(2)=8-6+2=4 3 | 인수분해 1 인수분해 개념 확인 1 ⑴ ab(5-3a€) ⑵ (1-a)(2-b) ⑶ (1+x)(1+y) 2 ⑴ (x+1)‹ ⑵ (x-3y)‹ ⑶ (x-2)(x€+2x+4) 50쪽~54쪽 11-2  4 |해결 전략 | f(x)=x‹+ax€-6x+b로 놓고 인수정리와 나머지정리에 의하여 ⑷ (x+2y+z)€ f(2)=0, f(1)=-1임을 이용한다. 3 ⑴ (a+b-1)€ ⑵ (x+1)(x-1)(x€-3) f(x)=x‹+ax€-6x+b라 하면 인수정리와 나머지정리에 의하여 ⑶ (x€+2x-2)(x€-2x-2) 4 ⑴ (a+b)(b+c) ⑵ (a-b)(a+c) 5 ㈎ x-1 ㈏ 3 f(2)=0, f(1)=-1 f(2)=0에서 8+4a-12+b=0 ∴ 4a+b=4 f(1)=-1에서 1+a-6+b=-1 ∴ a+b=4 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=4 ∴ b-a=4 …… ㉠ …… ㉡ 1 ⑴ 5ab-3a‹b=ab(5-3a€) ⑵ 2(1-a)+b(a-1) =2(1-a)-b(1-a) ⑶ 1+x+y+xy =(1+x)+y(1+x) =(1-a)(2-b) =(1+x)(1+y) 12-1  -3 |해결 전략 | f(x)=x‹+2x€+ax+b로 놓으면 f(x)가 (x+1)(x+2)로 나 누어떨어지므로 f(-1)=0, f(-2)=0이다. ÷f(x)=x‹+2x€+ax+b라 하면 f(x)가 (x+1)(x+2)로 나누어 떨어지므로 ÷f(-1)=0, f(-2)=0 ÷f(-1)=0에서 -1+2-a+b=0 ∴ -a+b=-1 ÷f(-2)=0에서 -8+8-2a+b=0 ∴ -2a+b=0 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=-2 ∴ a+b=-3 2 ⑴ x‹+3x€+3x+1 =x‹+3_x€_1+3_x_1€+1‹ =(x+1)‹ ⑵ x‹-9x€y+27xy€-27y‹ =x‹-3_x€_3y+3_x_(3y)€-(3y)‹ =(x-3y)‹ ⑶ x‹-8 =x‹-2‹ =(x-2)(x€+x_2+2€) =(x-2)(x€+2x+4) ⑷ x€+4y€+z€+4xy+4yz+2zx …… ㉠ …… ㉡ =x€+(2y)€+z€+2_x_2y+2_2y_z+2_z_x =(x+2y+z)€ 12-2  0 |해결 전략 | f(x)=x›+ax‹+bx€+3으로 놓으면 f(x)가 x€-1, 즉 (x+1)(x-1)로 나누어떨어지므로 f(-1)=0, f(1)=0이다. ÷f(x)=x›+ax‹+bx€+3이라 하면 f(x)가 x€-1, 즉 (x+1)(x-1) =(X-1)€ 로 나누어떨어지므로 ÷f(-1)=0, f(1)=0 ÷f(-1)=0에서 ÷f(1)=0에서 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=-4 ∴ ab=0 1-a+b+3=0 ∴ -a+b=-4 …… ㉠ =(x€-1)(x€-3) X=x€ 대입 1+a+b+3=0 ∴ a+b=-4 …… ㉡ ⑶ x›-8x€+4 =(x›-4x€+4)-4x€ 3 ⑴ (a+b)€-2(a+b)+1 =X€-2X+1 a+b=X로 치환 =(a+b-1)€ X=a+b 대입 ⑵ x›-4x€+3 =X€-4X+3 x€=X로 치환 =(X-1)(X-3) =(x+1)(x-1)(x€-3) =(x€-2)€-(2x)€ A€-B€ 꼴로 변형 =(x€+2x-2)(x€-2x-2) 3 인수분해 017 4 ⑴ ab+ac+b€+bc =a(b+c)+b(b+c) ⑵ a€-ab+ac-bc =c(a-b)+a(a-b) =(a+b)(b+c) =(a-b)(a+c) ⑵ (x-y)€-2(x-y)-3 =X€-2X-3 x-y=X로 치환 =(X+1)(X-3) =(x-y+1)(x-y-3) X=x-y 대입 ⑶ (a€-a)€-4(a€-a)+4 =X€-4X+4 a€-a=X로 치환 =(X-2)€ =(a€-a-2)€ X=a€-a 대입 =(a+1)€(a-2)€ STEP 1 개념 드릴 4 ⑴ x›+x€-12 =X€+X-12 x€=X로 치환 | 55쪽 | =(X+4)(X-3) =(x€+4)(x€-3) X=x€ 대입 1 ⑴ (2a-3b)€ ⑵ (6a+5b)(6a-5b) ⑶ (3a+2)(2a-1) ⑵ x›+5x€+4 =X€+5X+4 x€=X로 치환 2 ⑴ (2x+1)‹ ⑵ (5x-y)‹ ⑶ (a+4)(a€-4a+16) ⑷ (3x-2y)(9x€+6xy+4y€) ⑸ (x+2y+3z)€ ⑹ (a+b+1)€ 3 ⑴ (a+b+1)€ ⑵ (x-y+1)(x-y-3) ⑶ (a+1)€(a-2)€ 4 ⑴ (x€+4)(x€-3) ⑵ (x€+1)(x€+4) ⑶ (x€+x-1)(x€-x-1) 5 ⑴ (a+b)(a-b+c) ⑵ (a-b)(a-b+c) ⑶ (a-2c)(a+b+2c) 1 ⑴ 4a€-12ab+9b€ =(2a)€-2_2a_3b+(3b)€ =(2a-3b)€ ⑵ 36a€-25b€ =(6a)€-(5b)€ =(6a+5b)(6a-5b) ⑶ 6a€+a-2=(3a+2)(2a-1) 2 ⑴ 8x‹+12x€+6x+1 =(2x)‹+3_(2x)€_1+3_2x_1€+1‹ ⑶ x›-3x€+1 =(x›-2x€+1)-x€ =(X+1)(X+4) =(x€+1)(x€+4) X=x€ 대입 =(x€-1)€-x€ A€-B€ 꼴로 변형 =(x€+x-1)(x€-x-1) 5 ⑴ a€-b€+ac+bc =c(a+b)+a€-b€ =c(a+b)+(a+b)(a-b) =(a+b)(a-b+c) ⑵ a€+b€+ac-bc-2ab =c(a-b)+a€-2ab+b€ =c(a-b)+(a-b)€ =(a-b)(a-b+c) ⑶ a€+ab-2bc-4c€ =b(a-2c)+a€-4c€ =b(a-2c)+(a+2c)(a-2c) =(a-2c)(a+b+2c) =(2x+1)‹ ⑵ 125x‹-75x€y+15xy€-y‹ =(5x)‹-3_(5x)€_y+3_5x_y€-y‹ =(5x-y)‹ ⑶ a‹+64 =a‹+4‹ =(a+4)(a€-4a+16) ⑷ 27x‹-8y‹ =(3x)‹-(2y)‹ =(3x-2y)(9x€+6xy+4y€) ⑸ x€+4y€+9z€+4xy+12yz+6zx =(x+2y+3z)€ ⑹ a€+b€+2ab+2a+2b+1 =(a+b+1)€ 3 ⑴ (a+b)€+2(a+b)+1 =X€+2X+1 a+b=X로 치환 =(X+1)€ =(a+b+1)€ X=a+b 대입 018 정답과 해설 =x€+(2y)€+(3z)€+2_x_2y+2_2y_3z+2_3z_x STEP 2 필수 유형 | 56쪽~61쪽 | =a€+b€+1€+2_a_b+2_b_1+2_1_a 01-1  ⑴ (a+b-c)(a€+b€+c€-ab-2bc+ca) ⑵ (x-3y)(x€+9y€+3xy-x+3y) ⑶ (2a-b+2c)€ ⑷ (x+2y+4)(x€+4y€-2xy-4x-8y+16) |해결 전략 | 공통인수로 묶고 인수분해 공식을 이용한다. ⑴ a‹+(b-c)‹ =(a+b-c){a€-a_(b-c)+(b-c)€} =(a+b-c)(a€+b€+c€-ab-2bc+ca) ⑵ x‹-x€+6xy-27y‹-9y€ =x‹-(3y)‹-(x€-6xy+9y€) =(x-3y){x€+x_3y+(3y)€}-(x-3y)€ =(x-3y){(x€+3xy+9y€)-(x-3y)} =(x-3y)(x€+9y€+3xy-x+3y) ⑶ 4a€+b€+4c€-4ab-4bc+8ca 03-1  ⑴ (x€+2)(x+2)(x-2) ⑵ (x€+3x-6)(x€-3x-6) ⑶ (x€+3x+5)(x€-3x+5) ⑷ (x€+2xy+2y€)(x€-2xy+2y€) |해결 전략 | x€=X로 치환하여 인수분해되지 않으면 A€-B€ 꼴로 변형하여 인수분해한다. = (2a)€+(-b)€+(2c)€+2_2a_(-b)+2_(-b)_2c ⑴ x›-2x€-8 =X€-2X-8 x€=X로 치환 +2_2c_2a =(X+2)(X-4) =(2a-b+2c)€ ⑷ x‹+8y‹-24xy+64 =(x€+2)(x€-4) X=x€ 대입 =(x€+2)(x+2)(x-2) =x‹+(2y)‹+4‹-3_x_2y_4 ⑵ x›-21x€+36 =(x›-12x€+36)-9x€ =(x+2y+4)(x€+4y€-2xy-4x-8y+16) =(x€+2x-4)(x€+2x-7) X=x€+2x 대입 하고, 차수가 같으면 어느 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다. |해결 전략 | 문자의 차수가 다르면 낮은 차수의 문자에 대하여 내림차순으로 정리 02-1  ⑴ (x€+5x+8)(x€+5x-2) ⑵ (x€+2x-4)(x€+2x-7) |해결 전략 | ⑴ 공통부분을 X로 치환한 후 인수분해한다. ⑵ 공통부분이 생기도록 식을 묶어 전개한 후 공통부분을 X로 치환한다. ⑴ (x€+5x+4)(x€+5x+2)-24 =(X+4)(X+2)-24 x€+5x=X로 치환 =X€+6X-16 =(X+8)(X-2) =(x€+5x+8)(x€+5x-2) X=x€+5x 대입 ⑵ (x-1)(x-2)(x+3)(x+4)+4 ={(x-1)(x+3)}{(x-2)(x+4)}+4 =(x€+2x-3)(x€+2x-8)+4 =(X-3)(X-8)+4 x€+2x=X로 치환 =X€-11X+28 =(X-4)(X-7) 02-2  9 |해결 전략 | 이차식 x€+bx+c가 완전제곱 꼴이 되려면 c={;2B;} € 이어야 한다. (x+1)(x+2)(x-4)(x-5)+k ={(x+1)(x-4)}{(x+2)(x-5)}+k =(x€-3x-4)(x€-3x-10)+k =(X-4)(X-10)+k x€-3x=X로 치환 =X€-14X+40+k …… ㉠ 주어진 식이 x에 대한 이차식의 완전제곱식으로 인수분해되려면 ㉠이 X에 대한 완전제곱식이 되어야 하므로 40+k=7€ 4 k=9 참고 k=9일 때 (주어진 식) =X€-14X+49 =(X-7)€ =(x€-3x-7)€ X=x€-3x 대입 이므로 이차식의 완전제곱식으로 인수분해되는 것을 확인할 수 있다. =(x€-6)€-(3x)€ A€-B€ 꼴로 변형 =(x€+3x-6)(x€-3x-6) ⑶ x›+x€+25 =(x›+10x€+25)-9x€ =(x€+5)€-(3x)€ A€-B€ 꼴로 변형 =(x€+3x+5)(x€-3x+5) ⑷ x›+4y› =(x›+4x€y€+4y›)-4x€y€ =(x€+2y€)€-(2xy)€ A€-B€ 꼴로 변형 =(x€+2xy+2y€)(x€-2xy+2y€) 04-1  ⑴ (a€+b)(c-ab) ⑵ (x+3y-2)(x+y+1) ⑶ (x-y)(x-y+2z) ⑷ (a+b)(b+c)(a-c) ⑴ a€c-ab€-a‹b+bc =(a€+b)c-ab€-a‹b =(a€+b)c-ab(a€+b) =(a€+b)(c-ab) ⑵ x€+4xy+3y€-x+y-2 =x€+(4y-1)x+3y€+y-2 =x€+(4y-1)x+(3y-2)(y+1) =(x+3y-2)(x+y+1) ⑶ x€+y€-2yz+2zx-2xy =2(x-y)z+x€-2xy+y€ =2(x-y)z+(x-y)€ =(x-y)(x-y+2z) ⑷ ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c-a) =a€b+ab€-b€c-bc€-c€a+ca€ =(b+c)a€+(b€-c€)a-bc(b+c) =(b+c)a€+(b-c)(b+c)a-bc(b+c) =(b+c){a€+(b-c)a-bc} =(b+c)(a+b)(a-c) =(a+b)(b+c)(a-c) 3 인수분해 019 |해결 전략 | f(a)=0을 만족시키는 a의 값을 찾은 후 인수정리와 조립제법을 이 05-1  ⑴ (x-2)(x+2)(x-3) ⑵ (x-1)(x+3)(2x+1) ⑶ (x-1)(x+1)(x+2)(x+3) 용하여 인수분해한다. ⑴ f(x)=x‹-3x€-4x+12로 놓으면 f(2)=8-12-8+12=0 이므로 f(x)는 x-2를 인수로 갖는다. 따라서 오른쪽과 같이 조립제법을 이 2 1 -3 -4 용하여 f(x)를 인수분해하면 12 2 -2 -12 0 1 -1 -6 x‹-3x€-4x+12 STEP 3 유형 드릴 | 62쪽~63쪽 | 1-1  ③ |해결 전략 | 인수분해 공식을 이용하여 좌변을 인수분해한다. ③ 27x‹+8y‹ =(3x)‹+(2y)‹ =(3x+2y)(A9x€-6xy+A4y€) =(x-2)(x€-x-6) =(x-2)(x+2)(x-3) ⑵ f(x)=2x‹+5x€-4x-3으로 놓으면 f(1)=2+5-4-3=0 이므로 f(x)는 x-1을 인수로 갖는다. 따라서 오른쪽과 같이 조립제법을 이용 1 2 하여 f(x)를 인수분해하면 2x‹+5x€-4x-3 =(x-1)(2x€+7x+3) =(x-1)(x+3)(2x+1) 1-2  ⑤ |해결 전략 | 인수분해 공식을 이용하여 좌변을 인수분해한다. ① ax-ay+3by-3bx =a(x-y)-3b(x-y) =(x-y)(a-3b) - ② (2a-3)‹=(2a)‹-3_(2a)€_3+3_2a_3€-3‹ 5 -4 -3 3 7 2 0 3 7 2 =8a‹-36a€+54a-27 이므로 8a‹-12a€+27a-27+(2a-3)‹ ③ 8x‹+1=(2x+1)(4x€-2x+1) + - ④ a€+b€+c€-2ab-2bc+2ca=(a-b+c)€ - + ⑶ f(x)=x›+5x‹+5x€-5x-6으로 놓으면 f(1)=1+5+5-5-6=0, f(-1)=1-5+5+5-6=0 이므로 f(x)는 x-1, x+1을 인수로 갖는다. 따라서 오른쪽과 같이 조립제법 을 이용하여 f(x)를 인수분해 하면 x›+5x‹+5x€-5x-6 =(x-1)(x+1)(x€+5x+6) =(x-1)(x+1)(x+2)(x+3) 1 1 -1 1 1 5 1 6 11 5 -5 -6 6 11 6 0 6 -1 -5 -6 0 5 6 2-1  ⑤ |해결 전략 | 공통부분을 X로 치환한 후 인수분해한다. (x€+x-5)(x€+x-3)-3 =(X-5)(X-3)-3 x€+x=X로 치환 =X€-8X+12 =(X-2)(X-6) =(x€+x-2)(x€+x-6) X=x€+x 대입 =(x-1)(x+2)(x-2)(x+3) 06-1  ⑴ 100 ⑵ -27 |해결 전략 | ⑴ 103=x로 놓은 후 인수분해 공식을 이용한다. ⑵ a€-b€=(a-b)(a+b)임을 이용한다. x€-x+1 _ (x+1)(x€-x+1) x€-x+1 ⑴ 103=x로 놓으면 101€-1 103€-1 _ 103‹+1 103€-103+1 _ x‹+1 = (x-2)€-1 x€-1 = (x-1)(x-3) (x-1)(x+1) =x-3 =103-3=100 ⑵ 2€-3€+4€-5€+6€-7€ =-1_(5+9+13) =-27 020 정답과 해설 따라서 주어진 보기 중 (x€+x-5)(x€+x-3)-3의 인수가 아닌 것은 ⑤ (x-1)(x€+x-2)이다. 참고 (x-1)(x+2)(x-2)(x+3)에서 ③ x€-4=(x+2)(x-2)이므로 인수이다. ④ (x+2)(x€+x-6)=(x+2)(x-2)(x+3)이므로 인수이다. 2-2  -6 |해결 전략 | 공통부분을 X로 치환한 후 인수분해한다. (x€-x+1)€-16(x€-x)+23 =(X+1)€-16X+23 x€-x=X로 치환 =X€-14X+24 =(X-2)(X-12) =(x+1)(x-2)(x+3)(x-4) 4 a+b=-2+(-4)=-6 =(2-3)(2+3)+(4-5)(4+5)+(6-7)(6+7) =(x€-x-2)(x€-x-12) X=x€-x 대입 3-1  41 |해결 전략 | 공통부분이 나타나도록 식을 묶어 전개한 후 공통부분을 X로 치환 5-1  2a+b+3 |해결 전략 | 어느 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다. =(X+4)(X+6)-8 x€-5x=X로 치환 따라서 두 일차식의 합은 3-2  16 |해결 전략 | 이차식 x€+bx+c가 완전제곱 꼴이 되려면 c={;2B;} € 이어야 한다. =(x+3y+1)€ 주어진 식이 x에 대한 이차식의 완전제곱식으로 인수분해되려면 f(x)=x‹+ax€-7x+12로 놓으면 f(x)가 x-3을 인수로 가지므 6-1  3 |해결 전략 | f(x)=x‹+ax€-7x+12로 놓으면 f(x)는 x-3을 인수로 갖는 åå ㉠ 다. (주어진 식) =X€+22X+121 =(X+11)€ =(x€-8x+11)€ X=x€-8x 대입 이므로 이차식의 완전제곱식으로 인수분해되는 것을 확인할 수 있다. f(x)를 인수분해하면 f(x)=(x-3)(x€+x-4) 따라서 b=1이므로 b-a=3 다른 풀이 한다. (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-8 ={(x-1)(x-4)}{(x-2)(x-3)}-8 =(x€-5x+4)(x€-5x+6)-8 =X€+10X+16 =(X+2)(X+8) =(x€-5x+2)(x€-5x+8) X=x€-5x 대입 4 ac+bd=(-5)_(-5)+2_8=41 (x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+k ={(x-1)(x-7)}{(x-3)(x-5)}+k =(x€-8x+7)(x€-8x+15)+k =(X+7)(X+15)+k x€-8x=X로 치환 =X€+22X+105+k ㉠이 X에 대한 완전제곱식이 되어야 하므로 105+k=11€ 4 k=16 참고 k=16일 때 4-1  9 |해결 전략 | x€항을 쪼개서 A€-B€ 꼴로 변형하여 인수분해한다. x›-7x€+9 =(x›-6x€+9)-x€ =(x€-3)€-x€ A€-B€ 꼴로 변형 =(x€+x-3)(x€-x-3) 따라서 a=1, b=-3, c=-3이므로 abc=9 4-2  -1 |해결 전략 | x€항을 더하고 빼서 A€-B€ 꼴로 변형하여 인수분해한다. x›+9x€+25 =(x›+10x€+25)-x€ =(x€+5)€-x€ A€-B€ 꼴로 변형 =(x€+x+5)(x€-x+5) 따라서 a=5, b=-1, c=5이므로 a+b-c=-1 a€+ab-2b€+3a+3b+2 =a€+(b+3)a-(2b€-3b-2) =a€+(b+3)a-(b-2)(2b+1) ={a-(b-2)}{a+(2b+1)} =(a-b+2)(a+2b+1) (a-b+2)+(a+2b+1)=2a+b+3 5-2  4 |해결 전략 | 어느 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다. x€+9y€+1+6xy+2x+6y =x€+2(3y+1)x+(9y€+6y+1) =x€+2(3y+1)x+(3y+1)€ x€+2Ax+A€ 꼴 따라서 a=3, b=1이므로 a+b=4 로 f(3)=0에서 27+9a-21+12=0 4 a=-2 4 f(x)=x‹-2x€-7x+12 오른쪽과 같이 조립제법을 이용하여 3 1 -2 -7 12 3 -12 0 3 1 -4 1 x‹+ax€-7x+12=(x-3)(x€+bx-4)이므로 우변을 전개하면 x‹+ax€-7x+12=x‹+(b-3)x€-(3b+4)x+12 이 식은 x에 대한 항등식이므로 양변의 계수를 비교하면 a=b-3, 7=3b+4 두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=1이므로 b-a=3 6-2  -6 |해결 전략 | g(x)=2x›-5x‹-5x€+ax+3으로 놓으면 g(x)는 x-1, x+1 g(x)=2x›-5x‹-5x€+ax+3으로 놓으면 g(x)가 x-1, x+1을 을 인수로 갖는다. 인수로 가지므로 g(1)=0, g(-1)=0 g(1)=0에서 2-5-5+a+3=0 4 a=5 4 g(x)=2x›-5x‹-5x€+5x+3 오른쪽과 같이 조립제법을 이용하여 g(x)를 인수분해하면 g(x)=(x-1)(x+1)(2x€-5x-3) 따라서 f(x)=2x€-5x-3이므로 f(1)=2-5-3=-6 1 2 -5 -5 5 3 2 -3 -8 -3 0 -1 2 -3 -8 -3 3 -2 0 5 2 -5 -3 3 인수분해 021 주의 이다. 2x›-5x‹-5x€+5x+3=(x-1)(x+1)f(x) …… ㉠ f(1)의 값을 구하기 위해 ㉠의 양변에 x=1을 대입하지 않도록 주의한다. 왜냐하면 x=1을 대입하면 0=0_f(1)이 되어 f(1)의 값을 구할 수 없기 때문 | 복소수4 7-1  111 |해결 전략 | 11=x로 놓은 후 인수분해 공식을 이용한다. 11=x로 놓으면 11›+11€+1 11_12+1 x›+x€+1 x(x+1)+1 = = (x€+x+1)(x€-x+1) x€+x+1 =x€-x+1 =11€-11+1=111 참고 x›+x€+1=(x›+2x€+1)-x€ =(x€+1)€-x€ =(x€+x+1)(x€-x+1) 7-2  -180 |해결 전략 | a€-b€=(a-b)(a+b)임을 이용한다. 10€-12€+14€-16€+18€-20€ =(10€-12€)+(14€-16€)+(18€-20€) = (10-12)(10+12)+(14-16)(14+16)+(18-20)(18+20) =-2(22+30+38)=-180 8-1  a=c인 이등변삼각형 |해결 전략 | 좌변을 인수분해하여 a, b, c 사이의 관계식을 찾는다. a‹+a€b-c€a-bc€ =b(a€-c€)+a(a€-c€) =(a€-c€)(a+b) =(a-c)(a+c)(a+b) 즉, (a-c)(a+c)(a+b)=0 이때, a>0, b>0, c>0에서 a+b+0, a+c+0이므로

a-c=0

4 a=c

따라서 1ABC는 a=c인 이등변삼각형이다.

8-2  ;2!;ac

|해결 전략 | 좌변을 인수분해하여 a, b, c 사이의 관계식을 찾는다.

a‹-b‹+a€b-ab€+ac€+bc€ =c€(a+b)+a‹+a€b-ab€-b‹

=c€(a+b)+a€(a+b)-b€(a+b)

=(a+b)(a€-b€+c€)

즉, (a+b)(a€-b€+c€)=0

이때, a>0, b>0에서 a+b+0이므로

a€-b€+c€=0

4 b€=a€+c€

따라서 1ABC는 b를 빗변의 길이로 하는 직각삼각형이므로 넓이는

;2!;ac이다.

022 정답과 해설

66쪽~70쪽

1

복소수의 뜻과 그 연산

개념 확인

1 ⑴ 실수부분: ‘5, 허수부분: 0

⑵ 실수부분: -1, 허수부분: -1

⑶ 실수부분: ‘2, 허수부분: 2

⑷ 실수부분: 0, 허수부분: -4

실수: ⑴, 허수: ⑵, ⑶, ⑷

2 x=0, y=-1

3 ⑴ 3+2i ⑵ -i-‘2 ⑶ -2 ⑷ -5i

4 ⑴ 3+6i ⑵ 2-2i ⑶ -2+7i ⑷ -4

5 ⑴ -3+2i ⑵ 8+2i ⑶ 1+i ⑷ ;5!;-;5*;i

6 ⑴ 2 ⑵ 5

7 ⑴ 5-3i ⑵ 10-10i

1 ⑴ ‘5=’5+0_i이므로 ‘5의 실수부분은 ‘5, 허수부분은 0이고,

⑵ -1-i의 실수부분은 -1, 허수부분은 -1이고, -1-i는 허

‘5는 실수이다.

수이다.

⑶ ‘2+2i의 실수부분은 ‘2, 허수부분은 2이고, ‘2+2i는 허수이다.

⑷ -4i=0-4i이므로 -4i의 실수부분은 0, 허수부분은 -4이

고, -4i는 허수이다.

따라서 ⑴~⑷의 복소수 중 실수는 ⑴, 허수는 ⑵, ⑶, ⑷이다.

2 2x=0, y+1=0이므로 x=0, y=-1

3 ⑴ 3-2i’=3+2i

⑵ i-‘2 ’=-i-‘2

⑶ -2=-2+0_i이므로 -2’=-2

⑷ 5i=0+5i이므로 5i’=-5i

4 ⑴ (1+i)+(2+5i)=(1+2)+(1+5)i=3+6i

⑵ (3+i)+(-1-3i)=(3-1)+(1-3)i=2-2i

⑶ 2i-(2-5i)=(0-2)+(2+5)i=-2+7i

⑷ i-(4+i)=(0-4)+(1-1)i=-4

5 ⑴ i(2+3i)=2i+3i€=-3+2i

⑵ (1-i)(3+5i) =3+5i-3i-5i€

=3+5i-3i+5=8+2i

⑶

2

1-i

=

2(1+i)

(1-i)(1+i)

=

2(1+i)

1€-i€

=

2(1+i)

2

=1+i

⑷

2-3i

2+i

=

(2-3i)(2-i)

(2+i)(2-i)

=

4-2i-6i+3i€

2€-i€

=

1-8i

5

=;5!;-;5*;i

6 z=1+2i이므로 z“=1-2i

⑴ z+z“=(1+2i)+(1-2i)=2

⑵ zz“=(1+2i)(1-2i)=1-4i€=5

7 ⑴ z¡+z™’ =z¡’+z™’=(3+i)+(2-4i)

=(3+2)+(1-4)i=5-3i

⑵ z¡z™’ =z¡’_z™’=(3+i)(2-4i)

=6-12i+2i-4i€=10-10i

STEP

1

개념 드릴

| 71쪽~72쪽 |

1 ⑴ 실수부분: 3, 허수부분: 6

⑵ 실수부분: -‘5, 허수부분: 2

⑶ 실수부분: -8, 허수부분: 0

⑷ 실수부분: 0, 허수부분: 4

⑸ 실수부분: 5, 허수부분: -2

⑹ 실수부분: 0, 허수부분: -3

2 ⑴ 5+’3, ‘2

3

⑵ 9i, -‘5 i ⑶ ‘2+4i, i€-i

3 ⑴ x=-3, y=-4 ⑵ x=1, y=-;3!;

⑶ x=1, y=8 ⑷ x=-1, y=-4

4 ⑴ -3-11i ⑵ -9i+1 ⑶ 4

⑷ ‘2i ⑸ ;2!;-;3%;i ⑹ -3i-‘2

5 ⑴ 5+2i ⑵ -4 ⑶ 7+4i

6 ⑴ 1+5i ⑵ -7-7i ⑶ 1-i

7 ⑴ -5+5i ⑵ 4+3i ⑶ 6

8 ⑴ -;1£3;+;1™3;i ⑵ ‘2-i ⑶ -;2!;+ ‘3

2

i ⑷ ;5!;-

2’6

5

i

1 ⑴ 3+6i의 실수부분은 3, 허수부분은 6이다.

⑵ -‘5+2i의 실수부분은 -‘5, 허수부분은 2이다.

⑶ -8=-8+0_i이므로 -8의 실수부분은 -8, 허수부분은 0

이다.

⑷ ‘ß16i=0+4i이므로 ‘ß16i의 실수부분은 0, 허수부분은 4이다.

⑸ 5-2i의 실수부분은 5, 허수부분은 -2이다.

⑹ -3i=0-3i이므로 -3i의 실수부분은 0, 허수부분은 -3이다.

2 ⑶ i €-i=-1-i이므로 i €-i는 순허수가 아닌 허수이다.

3 ⑴ -x=3, y=-4이므로 x=-3, y=-4

⑵ x-1=0, 3y+1=0이므로 x=1, y=-;3!;

⑶ 2x+1=3, y-3=5이므로 x=1, y=8

⑷ x+y=-5, x-y=3이므로 x=-1, y=-4

4 ⑴ -3+11i’=-3-11i

⑵ 9i+1’=-9i+1

⑶ 4=4+0_i이므로 4“=4

⑷ -‘2i=0-‘2i이므로 -‘2i’=’2i

⑸ ;2!;+;3%;i

=;2!;-;3%;i

⑹ 3i-‘2 ’=-3i-‘2

5 ⑴ (3-i)+(2+3i)=(3+2)+(-1+3)i=5+2i

⑵ (4i-2)+(-2-4i) =(-2-2)+(4-4)i

=-4

⑶ 4-6i’+(3-2i) =(4+6i)+(3-2i)

=(4+3)+(6-2)i=7+4i

6 ⑴ (2+i)-(1-4i)=(2-1)+(1+4)i=1+5i

⑵ (-3-2i)-(4+5i) =(-3-4)+(-2-5)i

⑶ (5-4i)-4+3i’ =(5-4i)-(4-3i)

=-7-7i

=(5-4)+(-4+3)i=1-i

7 ⑴ (-1+3i)(2+i) =-2-i+6i+3i€

=-2-i+6i-3=-5+5i

⑵ (2-i)(1+2i) =2+4i-i-2i€

=2+4i-i+2=4+3i

⑶ (1+’5 i)(1-‘5 i) =1€-(‘5 i)€=1-5i €

=1+5=6

8 ⑴

i

2-3i

=

i(2+3i)

(2-3i)(2+3i)

=

2i+3i€

2€-(3i)€

=

-3+2i

13

=-;1£3;+;1™3;i

⑵

3

‘2+i

=

=

=

3(‘2-i)

(‘2+i)(‘2-i)

3(‘2-i)

3

=’2-i

3(‘2-i)

(‘2 )€-i€

⑶

1+’3 i

1-‘3 i

⑷ ‘3-‘2 i

‘3+’2 i

=

=

=

=-;2!;+ ‘3

(1+’3 i)€

(1-‘3 i)(1+’3 i)

-2+2’3 i

4

(‘3-‘2 i)€

(‘3+’2 i)(‘3-‘2 i)

1-2’6 i

2’6

5

5

=;5!;-

2

i

=

=

i

1+2’3 i+3i €

1€-(‘3 i) €

=

3-2’6 i+2i €

(‘3 )€-(‘2 i) €

4 복소수 023

’

STEP

2

필수 유형

| 73쪽~78쪽 |

01-1  ⑴ 1+10i ⑵ 10 ⑶ 7+i

|해결 전략 | i를 문자처럼 생각하고 계산한 후 i€=-1임을 이용한다.

⑴ i-7+(2-5i)(-1+2i) =-7+i+(-2+4i+5i-10i €)

⑵ (3+2i)€-(2+3i)€ =(9+12i+4i€)-(4+12i+9i €)

=-7+i+(-2+4i+5i+10)

=-7+i+(8+9i)

=1+10i

=(9+12i-4)-(4+12i-9)

=(5+12i)-(-5+12i)

=10

⑶

3+i

1-i

=

(3+i)(1+i)

(1-i)(1+i)

=

3+3i+i+i€

1€-i€

=

2+4i

2

=1+2i

1+6i

i

=

(1+6i)i

i_i

=

i+6i€

i€

=

-6+i

-1

=6-i

⑵ z =(1-xi)(-4+i)

=-4+i+4xi-xi €

=(x-4)+(4x+1)i

z가 실수가 되려면 4x+1=0이어야 하므로

x=-;4!;

z가 순허수가 되려면 x-4=0, 4x+1+0이어야 하므로

∴ a=-;4!;

x=4

∴ b=4

02-2  1

|해결 전략 | a+bi (a, b는 실수)가 순허수일 때 a=0, b+0임을 이용한다.

z=(a€-1)+(a€+a)i가 순허수이려면

a€-1=0, a€+a+0이어야 하므로

a€-1=0에서 (a+1)(a-1)=0

∴ a=-1 또는 a=1

a€+a+0에서 a(a+1)+0

∴ a+-1이고 a+0

따라서 구하는 실수 a의 값은 1이다.

∴

3+i

1-i

+

1+6i

i

=1+2i+6-i=7+i

02-3  ;2#;

참고

|해결 전략 | z€이 음의 실수이면 z는 순허수임을 이용한다.

분모가 허수일 때, 분모와 분자에 각각 분모의 켤레복소수를 곱하여 분모를

z=-2x€+(1+i)x+3+i=(-2x€+x+3)+(x+1)i

제곱하여 음의 실수가 되는 복소수는 순허수이므로

실수화한다.

즉, a, b가 실수일 때,

1

a+bi

=

a-bi

(a+bi)(a-bi)

=

a-bi

a€+b€

로 계산한다.

01-2  -1-5i

|해결 전략 | i를 문자처럼 생각하고 계산한 후 i €=-1임을 이용한다.

(1-i)(3+2i’)+i(1+i)€ =(1-i)(3-2i)+i(1+i)€

-2x€+x+3=0, x+1+0

2x€-x-3=0, x+-1

(x+1)(2x-3)=0, x+-1

∴ x=;2#;

참고

복소수 z에 대하여

❶ z€이 음의 실수이면 ➡ z는 순허수

=(3-2i-3i+2i€)+i(1+2i+i€)

❷ z€이 양의 실수이면 ➡ z는 0이 아닌 실수

=(3-2i-3i-2)+i(1+2i-1)

=1-5i+i_2i

=1-5i+2i€

=1-5i-2

=-1-5i

03-1  ⑴ x=3, y=1 ⑵ x=3, y=-1

|해결 전략 | 좌변을 정리한 후 실수부분과 허수부분이 각각 같음을 이용한다.

|해결 전략 | 주어진 복소수를 (실수부분)+(허수부분)i 꼴로 정리한 후, 조건을

x+y=4, x-y=2

⑴ (1+i)x+(1-i)y=4+2i에서

x+xi+y-yi=4+2i

(x+y)+(x-y)i=4+2i

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=1

⑵ (x+2i)(1-i)=5+yi에서

x-xi+2i-2i€=5+yi

(x+2)+(-x+2)i=5+yi

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=-1

02-1  ⑴ a=4, b=6 ⑵ a=-;4!;, b=4

만족시키는 x의 값을 구한다.

⑴ z =x(1+i)-2(3+2i)

=(x-6)+(x-4)i

z가 실수가 되려면 x-4=0이어야 하므로

x=4

∴ a=4

x=6

∴ b=6

024 정답과 해설

z가 순허수가 되려면 x-6=0, x-4+0이어야 하므로

x+2=5, -x+2=y

03-2  80

|해결 전략 | 좌변을 정리한 후 실수부분과 허수부분이 각각 같음을 이용한다.

a=-1+2i, b=2-i이므로

a+a”=(-1+2i)+(-1-2i)=-2

b+b”=(2-i)+(2+i)=4

∴ ab”+a”b+ab+a” b” =(a+a”)(b+b”)

=-2_4=-8

x

1-i

+

y

1+i

=

x(1+i)+y(1-i)

(1-i)(1+i)

=

=

x+y+(x-y)i

2

x+y

2

+

x-y

2

i

즉,

x+y

2

+

x-y

2

하여

x+y

2

=4,

=5

x-y

2

∴ x+y=8, x-y=10

두 식을 연립하여 풀면 x=9, y=-1이므로

x€-y€=81-1=80

i=4+5i이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의

04-1  ⑴ ;7@; ⑵ 20

|해결 전략 | x+y, xy의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용하여 계산한다.

x+y=(-2+’3 i)+(-2-‘3 i)=-4

xy=(-2+’3 i)(-2-‘3 i)=4-3i€=4+3=7

⑴

x€+y€

(x+y)€-2xy

xy

x

y +

y

x =

xy =

(-4)€-2_7

7

=;7@;

=

⑵ x‹+y‹ =(x+y)‹-3xy(x+y)

=(-4)‹-3_7_(-4)=20

참고

곱셈 공식의 변형

❶ a€+b€=(a+b)€-2ab=(a-b)€+2ab

❷ a‹+b‹=(a+b)‹-3ab(a+b), a‹-b‹=(a-b)‹+3ab(a-b)

식을 만들어 해결한다.

x=-1+i에서 x+1=i

양변을 제곱하면

(x+1)€=i€, x€+2x+1=-1

∴ x€+2x+2=0

따라서 주어진 식의 값은

x‹+2x€+3x+2 =x(x€+2x+2)+x+2

=x_0+x+2

=x+2

=(-1+i)+2=1+i

05-2  5

|해결 전략 | 인수분해를 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후 a-b, a-b’의 값을

대입한다.

aa”-a”b-ab”+bb”=a”(a-b)-b”(a-b)

=(a-b)(a”-b”)

=(a-b)(a-b’)

=(2+i)(2-i)=4+1=5

06-1  ⑴ 1-2i ⑵ 2-i

|해결 전략 | z=a+bi (a, b는 실수)로 놓고 z, z”를 등식에 대입한다.

⑴ z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi

5z+2z” =5(a+bi)+2(a-bi)

=5a+5bi+2a-2bi

=7a+3bi

즉, 7a+3bi=7-6i이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여

7a=7, 3b=-6

∴ a=1, b=-2

∴ z=1-2i

⑵ z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi

(1-i)z”+2iz =(1-i)(a-bi)+2i(a+bi)

=a-bi-ai-b+2ai-2b

=(a-3b)+(a-b)i

에 의하여

a-3b=5, a-b=3

두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=-1

∴ z=2-i

06-2  3+4i, 3-4i

|해결 전략 | z=a+bi (a, b는 실수)로 놓고 z, z”를 각 등식에 대입한다.

z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi

04-2  1+i

|해결 전략 | 우변에 순허수만 남도록 식을 변형한 후 양변을 제곱하여 이차방정

즉, (a-3b)+(a-b)i=5+3i이므로 복소수가 서로 같을 조건

05-1  -8

|해결 전략 | 인수분해를 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후 a+a’, b+b’의 값을

대입한다.

ab”+a”b+ab+a” b” =a(b+b”)+a”(b+b”)

=(a+a”)(b+b”)

z+z”=(a+bi)+(a-bi)=2a

즉, 2a=6이므로 a=3

zz”=(a+bi)(a-bi)=a€+b€

즉, a€+b€=25이고 a=3이므로

b€=16

∴ b=\4

따라서 구하는 복소수 z는

z=3+4i 또는 z=3-4i

4 복소수 025

2

i의 거듭제곱 및 음수의 제곱근

개념 확인

79쪽~81쪽

1 ⑴ -1 ⑵ -1 ⑶ -i

2 ⑴ ‘5i ⑵ 2’2 i ⑶ -4i ⑷ -5i

3 ⑴ \2i ⑵ \’6 i ⑶ \3’3 i ⑷ \6i

4 ⑴ -2’3 ⑵ -‘7 i

1 ⑴ i⁄›=(i›)‹_i€=-1

⑵ (-i)⁄°=i ⁄°=(i ›)›_i €=i €=-1

⑶ i €‹=(i ›)ﬁ_i ‹=i ‹=-i

2 ⑴ ‘ß-5=’5 i

⑵ ‘ß-8=’8i=2’2 i

⑶ -‘ß-16=-‘ß16 i=-4i

⑷ -‘ß-25=-‘ß25 i=-5i

3 ⑴ \’ß-4=\’4 i=\2i

⑵ \’ß-6=\’6 i

⑶ \’ß-27=\’ß27 i=\3’3 i

⑷ \’ß-36=\’ß36 i=\6i

4 ⑴ ‘ß-4_’ß-3=-‘ß4_3=-‘ß12=-2’3

⑵ ‘ß14

14

-2

‘ß-2

=-‘ß-7=-‘7 i

=-æç

STEP

1

개념 드릴

| 82쪽 |

1 ⑴ i ⑵ 4’2 i ⑶ -i ⑷ 1 ⑸ 2 ⑹ -2i ⑺ 0

2 ⑴ 6i ⑵ -‘ß10 ⑶ 6i ⑷ 3i ⑸ -‘2i ⑹ 3

1 ⑴ i €ﬁ=(i ›)ﬂ_i=i

⑵ (‘2 i)ﬁ=(‘2 )ﬁ_i ﬁ=4’2_i ›_i=4’2 i

⑶ (-i)⁄‡=-i ⁄‡=-(i ›)›_i=-i

⑷ {

100

=

1

i }

1

i ⁄‚‚

=

1

(i ›)€ﬁ

=1

⑸ i€‚+i›‚=(i›)ﬁ+(i›)⁄‚=1+1=2

⑹ i ‡+(-i)· =i ‡-i ·=i›_i‹-(i›)€_i

=i‹-i=-i-i=-2i

⑺

+

+

+

=

-1-

+1=0

1

i

1

i €

1

i ‹

1

i ›

1

i

1

i

026 정답과 해설

2 ⑴ ‘ß-4’9=’ß(-4)_9=’ß-36=’ß36i=6i

⑵ ‘ß-2’ß-5=-‘ß2_5=-‘ß10

⑶ ‘3’ß-12=’ß3_(-12)=’ß-36=’ß36 i =6i

⑷ ‘ß-27

‘3

⑸ ‘ß10

‘ß-5

⑹ ‘ß-18

‘ß-2

=-‘ß-2=-‘2 i

=’ß-9=’9 i=3i

=’9=3

-27

3

-18

-2

=-æ√

10

-5

=æ√

=æ√

STEP

2

필수 유형

| 83쪽~85쪽 |

01-1  ⑴ 10-10i ⑵ -2i

|해결 전략 | ⑴ 항을 네 개씩 묶어 간단히 한 후 계산한다.

⑵ 괄호 안의 식을 간단히 한 후 i의 거듭제곱을 계산한다.

⑴ i+2i€+3i‹+4i›+5iﬁ+ ! +20i 20

= (i+2i€+3i‹+4i›)+(5iﬁ+6iﬂ+7i‡+8i°)

= (i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)

+ ! +(17i 17+18i 18+19i 19+20i 20)

+ ! +(17i-18-19i+20)

=(2-2i)+(2-2i)+ ! +(2-2i)

=-i›_i+(i›)‹_i‹=-i+i‹

=-i-i=-2i

=5(2-2i)

=10-10i

⑵ 1-i

1+i

=

(1-i)€

(1+i)(1-i)

=

-2i

2

=-i

1+i

1-i

=

(1+i)€

(1-i)(1+i)

=

=i

2i

2

∴ {

5

1-i

1+i }

+{

1+i

1-i }

15

=(-i)ﬁ+i 15

02-1  ⑴ -2’2+2i ⑵ -3+2i

|해결 전략 | a>0일 때, ‘ß-a=’a i임을 이용한다.

⑴ ‘ß-2’ß-4+’2’ß-8+ ‘8

‘å-2

8

-2

=-‘8 +’ß-16-æ√

=-2’2+’ß16i-‘4i

=-2’2+4i-2i

=-2’2+2i

⑵ ‘ß-3’ß-12+’ß-5’5+ ‘ß-27

‘å-3

=-‘ß36+’ß-25+æ√

-27

-3

-æ√

+ ‘ß27

‘å-3

27

-3

=-6+5i+’9-‘9i

=-6+5i+3-3i

=-3+2i

02-2  10

|해결 전략 | a>0일 때, ‘ß-a=’a i임을 이용하여 좌변을 계산한다.

‘ß-3’ß-27+(1+’ß-3)(1-‘ß-3)+ ‘ß32

‘å-8

=-‘ß81+(1+’3 i)(1-‘3 i)-æ√

32

-8

=-9+1-3i€-‘4 i

=-9+1+3-2i

=-5-2i

따라서 a=-5, b=-2이므로 ab=10

03-1  -a

|해결 전략 | 0이 아닌 두 실수 a, b에 대하여 ‘a’b=-‘ßab일 때, a<0, b<0임 을 이용한다. 'a'b=-'ßab, a+0, b+0에서 a<0, b<0이므로 a+b<0 따라서 "ƒ(a+b)€=|a+b|=-(a+b), |b|=-b이므로 "ƒ(a+b)€-|b| =-(a+b)-(-b) =-a-b+b =-a 03-2  0 |해결 전략 | 0이 아닌 두 실수 a, b에 대하여 'a 'b 을 이용한다. =-æ;bA;일 때, a>0, b<0임 =-æ;bA;, a+0, b+0에서 a>0, b<0이므로 'a 'b a-b>0

따라서 |-a|=|a|=a, |b|=-b, “ƒ(a-b)€=|a-b|=a-b이

므로

|-a|+|b|-“ƒ(a-b)€ =a+(-b)-(a-b)

=a-b-a+b=0

1-2  8

|해결 전략 | z€이 음의 실수이면 z는 순허수임을 이용한다.

z=x€-(10+i)x+2(8+i)=(x€-10x+16)+(2-x)i

제곱하여 음의 실수가 되는 복소수는 순허수이므로

x€-10x+16=0, 2-x+0

(x-2)(x-8)=0, x+2

∴ x=8

2-1  1

|해결 전략 | a+bi=c+di (a, b, c, d는 실수)이면 a=c, b=d임을 이용한다.

(2+3i)x+(i-1)y=5(1+i)에서

(2x-y)+(3x+y)i=5+5i

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

2x-y=5, 3x+y=5

두 식을 연립하여 풀면 x=2, y=-1

∴ x+y=1

2-2  12

|해결 전략 | a+bi=0 (a, b는 실수)이면 a=0, b=0임을 이용한다.

(x-i)(2+6i)-(2-yi)=0에서

(2x+4)+(6x+y-2)i=0

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

2x+4=0, 6x+y-2=0

두 식을 연립하여 풀면 x=-2, y=14

∴ x+y=12

3-1  20

|해결 전략 | a+b, ab의 값을 구한 후 인수분해를 이용하여 계산한다.

a=1+3i, b=1-3i에서

a+b=(1+3i)+(1-3i)=2

ab=(1+3i)(1-3i)=1+9=10

∴ a€b+ab€=ab(a+b)=10_2=20

STEP

3

유형 드릴

| 86쪽~87쪽 |

1-1  6

|해결 전략 | 주어진 복소수를 a+bi (a, b는 실수) 꼴로 정리한 후, a+bi가 실

수이면 b=0임을 이용한다.

(3+2ai)(1-4i)=(3+8a)+(2a-12)i

이 복소수가 실수가 되려면 (허수부분)=0이어야 하므로

2a-12=0

∴ a=6

3-2  -1

|해결 전략 | a+b, ab의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용하여 계산한다.

a=-1+’3 i, b=-1-‘3 i에서

a+b=(-1+’3 i)+(-1-‘3 i)=-2

ab=(-1+’3 i)(-1-‘3 i)=1+3=4

(a+b)€-2ab

ab

a€+b€

ab

b

a

∴

a

b

=

+

=

=

(-2)€-2_4

4

=

4-8

4

=-1

4 복소수 027

4-1  -2i

|해결 전략 | 우변에 순허수만 남도록 식을 변형한 후 양변을 제곱하여 이차방정

6-1  1-2i

|해결 전략 | z=a+bi (a, b는 실수)로 놓고, z, z”를 각 등식에 대입한다.

식을 만들어 해결한다.

x=1-2i에서 x-1=-2i

양변을 제곱하면 (x-1)€=(-2i)€

x€-2x+1=-4

∴ x€-2x+5=0

∴ x‹-2x€+6x-1 =x(x€-2x+5)+x-1

=x_0+x-1=x-1

=-2i

4-2  9

|해결 전략 | 복소수 x의 분모를 실수화한 등식의 우변에 순허수만 남도록 식을

변형한 후 양변을 제곱하여 이차방정식을 만들어 해결한다.

x=

5

2-i

=

5(2+i)

(2-i)(2+i)

=

5(2+i)

5

=2+i

즉, x=2+i에서 x-2=i

양변을 제곱하면 (x-2)€=i €

x€-4x+4=-1

∴ x€-4x+5=0

두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=-1

∴ x‹-4x€+5x+9 =x(x€-4x+5)+9

∴ z=2-i

=x_0+9=9

z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi

z+z”=2에서 2a=2

∴ a=1

z-z”=-4i에서 2bi=-4i

∴ b=-2

∴ z=1-2i

6-2  2-i

|해결 전략 | z=a+bi (a, b는 실수)로 놓고, z, z”를 등식에 대입한 후 복소수가

서로 같을 조건을 이용한다.

z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi

(3+i)z+2i z” =(3+i)(a+bi)+2i(a-bi)

=3a+3bi+ai-b+2ai+2b

=(3a+b)+(3a+3b)i

즉, (3a+b)+(3a+3b)i=5+3i이므로 복소수가 서로 같을 조건

에 의하여

3a+b=5, 3a+3b=3

7-1  -1

|해결 전략 | 좌변의 항을 네 개씩 묶어 간단히 한 후 계산한다.

1

i

+

+

+

+ … +

2

i €

3

i ‹

4

i ›

30

i ‹‚

={

1

i

+

+

+

2

i €

3

i ‹

4

i › }+{

5

i ﬁ

6

i ﬂ

+

+

+

7

i ‡

8

i ° }

+ … +{

25

i €ﬁ

26

i €ﬂ

+

+

+

27

i €‡

29

i €·

+

30

i ‹‚

28

i €° }+

= (-i-2+3i+4)+(-5i-6+7i+8)

+ … +(-25i-26+27i+28)-29i-30

=(2+2i)+(2+2i)+ … +(2+2i)-29i-30

=7(2+2i)-29i-30

=-16-15i

따라서 a=-16, b=-15이므로 a-b=-1

=

=

=-i,

=

=-1,

i

i€

i

-1

1

-1

=

1

-i

=

i

-i€

=i,

=;1!;=1이므로

1

i€

1

i›

❶

+

+

+

=-i-1+i+1=0

1

i›

❷

=

=

= … =

1

i4k+1 =-i

1

i€

1

iﬁ

1

iﬂ

1

i‡

1

i°

1

i‹

1

i·

1

i⁄‚

1

i⁄⁄

1

i⁄€

=

=

= … =

=

=

= … =

=

=

= … =

1

i4k+2 =-1

1

i4k+3 =i

1

i4k+4 =1 (단, k는 음이 아닌 정수)

참고

1

i

1

i‹

1

i

1

i

1

i€

1

i‹

1

i›

5-1  25

|해결 전략 | 인수분해를 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후 a+b, a+b’의 값을

대입한다.

aa”+a”b+ab”+bb” =a”(a+b)+b”(a+b)

=(a+b)(a”+b”)

=(a+b)(a+b’)

a=2-3i, b=1+7i이므로

a+b=3+4i, a+b’=3-4i

∴ aa”+a”b+ab”+bb” =(a+b)(a+b’)

=(3+4i)(3-4i)

=9+16=25

5-2  12

|해결 전략 | 인수분해를 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후 a+a’, b+b’의 값을

대입한다.

ab+ab”+a”b+ab’ =ab+ab”+a”b+a” b”

=a(b+b”)+a”(b+b”)

=(a+a”)(b+b”)

a=3-i, b=1+3i이므로

a+a”=(3-i)+(3+i)=6

b+b”=(1+3i)+(1-3i)=2

∴ ab+ab”+a”b+ab’ =(a+a”)(b+b”)

=6_2=12

028 정답과 해설

7-2  1

|해결 전략 | 처음 프로그램에 입력한 복소수를 z라 하고 입력하여 출력하는 과정

을 10번 시행했을 때의 결과를 계산한다.

처음 프로그램에 입력한 복소수를 z라 하고 z를 입력하여 출력하는

과정을 n번 시행하였을 때 출력되는 복소수를 zn이라 하면

입력하여 출력하는 과정을 1번 시행하여 나온 결과는

이와 같이 이 프로그램에 z를 입력하여 출력하는 과정을 10번 시행하

입력하여 출력하는 과정을 2번 시행하여 나온 결과는

입력하여 출력하는 과정을 3번 시행하여 나온 결과는

z¡=z(1+i)

z™=z¡(1+i)=z(1+i)€

z£=z™(1+i)=z(1+i)‹

⋮

여 나온 결과는 z(1+i)⁄‚이다.

∴ z(1+i)⁄‚=32 i

이때, (1+i)€=1+2 i-1=2i이므로

z(1+i)⁄‚=z{(1+i)€}ﬁ=z(2 i)ﬁ=2ﬁi ﬁz=32 i_z

㉠에서 32i_z=32i이므로 z=1

따라서 이 프로그램에 처음 입력한 복소수는 1이다.

5

| 이차방정식

Review

일차방정식의 풀이

개념 확인

1 ⑴ 1 a+3일 때, x=-

2

a-3

2 a=3일 때, 해가 없다.

⑵ 1 a+-1일 때, x=a-1

2 a=-1일 때, 해가 무수히 많다.

2 ⑴ x=-2 또는 x=6 ⑵ x=;3!; 또는 x=1

…… ㉠

⑶ x=;2!; ⑷ x=-3 또는 x=2

90쪽~91쪽

8-1  ③

|해결 전략 | a+0, b+0일 때, ‘a’b=-‘ßab이면 a<0, b<0임을 이용한다. a+0, b+0일 때, 'a'b=-'ßab이므로 a<0, b<0 ① ab>0이므로 |ab|=ab

② “∂a€+|b|=|a|+|b|=-a-b

③ a+b<0이므로 |a+b|=-a-b |a|+|b|=-a-b ∴ |a+b|=|a|+|b| ④ -a>0, b<0이므로 'ß-a'b='ß-ab ⑤ 'a 'b =æç a b 8-2  ④ |해결 전략 | a+0, b+0일 때, 'a 'b a+0, b+0일 때, 'a 'b =-æç a b =-æ;bA;이면 a>0, b<0임을 이용한다. 이므로 a>0, b<0 ① 'a'b='ßab ② "∂a€"∂b€=|a|_|b|=a_(-b)=-ab ③ a>0, -b>0이므로 ‘a’ß-b=’ß-ab

④ -a<0, -b>0이므로 ‘ß-a’ß-b=’ßab

⑤ a-b>0이므로 “ƒ(a-b)€=|a-b|=a-b

1 ⑴ (a-3)x=-2에서

1 a-3+0, 즉 a+3일 때, x=-

2

a-3

2 a-3=0, 즉 a=3일 때, 0_x=-2

⑵ (a+1)x=(a+1)(a-1)에서

1 a+1+0, 즉 a+-1일 때,

x=

(a+1)(a-1)

a+1

=a-1

이를 만족시키는 x의 값은 존재하지 않으므로 해가 없다.

2 a+1=0,즉 a=-1일 때, 0_x=0

이를 만족시키는 x의 값은 무수히 많으므로 해가 무수히

많다.

2 ⑴ |x-2|=4에서 x-2=-4

∴ x=-2 또는 x=6

⑵ |2x-1|=x에서

1 x<;2!;일 때, 2x-1<0이므로 -(2x-1)=x, 3x=1 ∴ x=;3!; 이때, x=;3!;은 x<;2!;을 만족시키므로 해이다. 2 x>;2!;일 때, 2x-1>0이므로

2x-1=x

∴ x=1

이때, x=1은 x>;2!;을 만족시키므로 해이다.

1, 2에서 구하는 해는 x=;3!; 또는 x=1

⑶ |x+1|=3x에서

1 x<-1일 때, x+1<0이므로 -(x+1)=3x, 4x=-1 ∴ x=-;4!; 그런데 x=-;4!;은 x<-1을 만족시키지 않으므로 해가 아 니다. 5 이차방정식 029 1 ⑴ (x+1)(x-3)=0 ⑵ (x+2)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=3 ∴ x=-2 또는 x=2 ⑶ (x+1)(x-5)=0 ∴ x=-1 또는 x=5 ⑷ (x+2)(3x-2)=0 ∴ x=-2 또는 x=;3@; ⑸ ;3$;x€-4x+3=0의 양변에 3을 곱하면 4x€-12x+9=0, (2x-3)€=0 ∴ x=;2#; (중근) ⑹ (2x+5)(2x-5)=0 ∴ x=-;2%; 또는 x=;2%; 2 ⑴ x= -3\"∂3€-4_1_1 2_1 = -3\'5 2 ⑵ x= -5\"∂5€-4_2_1 2_2 = -5\'ß17 4 ⑶ x= -(-3)\"∂(-3)€-1_1 1 =3\2'2 ⑷ x= -1\"∂1€-1_3 1 =-1\'2i ⑸ ;2!;x€-2x-3=0의 양변에 2를 곱하면 x€-4x-6=0 ∴ x= -(-2)\"∂(-2)€-1_(-6) 1 =2\'ß10 ⑹ x= -(-1)\"∂(-1)€-1_5 1 =1\2i 2 x>-1일 때, x+1>0이므로

x+1=3x, 2x=1

∴ x=;2!;

이때, x=;2!;은 x>-1을 만족시키므로 해이다.

1, 2에서 구하는 해는 x=;2!;

⑷ |x+2|+|x-1|=5에서

1 x<-2일 때, x+2<0, x-1<0이므로 -(x+2)-(x-1)=5, -2x=6 ∴ x=-3 이때, x=-3은 x<-2를 만족시키므로 해이다. 2 -20, x-1<0이므로 (x+2)-(x-1)=5, 0_x=2 이를 만족시키는 x의 값은 존재하지 않으므로 해가 없다. 3 x>1일 때, x+2>0, x-1>0이므로

(x+2)+(x-1)=5, 2x=4

∴ x=2

이때, x=2는 x>1을 만족시키므로 해이다.

1, 2, 3에서 구하는 해는 x=-3 또는 x=2

1

이차방정식의 풀이

개념 확인

1 ⑴ x=-4 또는 x=2 ⑵ x=1-‘3

92쪽

1 ⑴ (x+4)(x-2)=0

∴ x=-4 또는 x=2

⑵ x=

-(-1)-“ƒ(-1)€-1_(-2)

1

=1\’3

STEP

2

필수 유형

| 94쪽~97쪽 |

01-1  ⑴ x=-1 또는 x=4 ⑵ x=-1\i

⑶ x=-1 또는 x=’2

|해결 전략 | 인수분해 또는 근의 공식을 이용하여 해를 구한다.

| 93쪽 |

⑴ x€+x=4(x+1)에서

x€+x=4x+4, x€-3x-4=0

(x+1)(x-4)=0

∴ x=-1 또는 x=4

⑵

(x-2)€

2

=-3x+1의 양변에 2를 곱하면

(x-2)€=-6x+2

x€-4x+4=-6x+2, x€+2x+2=0

∴ x=

-1-“ƒ1€-1_2

1

=-1\i

STEP

1

개념 드릴

1 ⑴ x=-1 또는 x=3 ⑵ x=-2 또는 x=2

⑶ x=-1 또는 x=5 ⑷ x=-2 또는 x=;3@;

⑸ x=;2#; (중근) ⑹ x=-;2%; 또는 x=;2%;

2 ⑴ x=

⑵ x=

-3\’5

2

-5\’ß17

4

⑶ x=3\2’2 ⑷ x=-1\’2i

⑸ x=2\’ß10 ⑹ x=1\2i

030 정답과 해설

⑶ (‘2+1)x€-x-2-‘2=0의 양변에 ‘2-1을 곱하면

(‘2+1)(‘2-1)x€-(‘2-1)x-(2+’2 )(‘2-1)=0

⑵ x€-4x+1=2|x-2|에서

1 x<2일 때 ∴ x€-('2-1)x-'2=0 좌변을 실수의 범위에서 인수분해하면 (x+1)(x-'2 )=0 ∴ x=-1 또는 x='2 02-1  ⑴ k=1, 다른 한 근: 2 ⑵ -4 |해결 전략 | 방정식 f(x)=0의 한 근이 a이면 f(a)=0을 만족시킨다. ⑴ x€+kx-3k-3=0에 x=-3을 대입하면 x€-4x+1=-2(x-2), x€-2x-3=0 (x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 (∵ x<2) 2 x>2일 때

x€-4x+1=2(x-2), x€-6x+5=0

(x-1)(x-5)=0

∴ x=5 (∵ x>2)

1, 2에서 구하는 해는 x=-1 또는 x=5

다른 풀이

⑴ x€+|x|-2=0에서 x€=|x|€이므로

|x|€+|x|-2=0, (|x|+2)(|x|-1)=0

∴ |x|=-2 또는 |x|=1

그런데 |x|>0이므로 |x|=1

∴ x=-1 또는 x=1

⑵ x€+(2a-1)x+a€-8=0에 x=1을 대입하면

범위를 나누어 절댓값 기호를 없앤 다음 푼다. 이때, 범위를 만족시키는 것만 주어

03-2  2-‘2

|해결 전략 | 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 기준으로 x의 값의

(-3)€-3k-3k-3=0

-6k+6=0

∴ k=1

k=1을 주어진 방정식에 대입하면

x€+x-6=0, (x+3)(x-2)=0

∴ x=-3 또는 x=2

따라서 다른 한 근은 2이다.

1€+(2a-1)_1+a€-8=0

a€+2a-8=0, (a+4)(a-2)=0

∴ a=2 (∵ a>0)

a=2를 주어진 방정식에 대입하면

x€+3x-4=0, (x+4)(x-1)=0

∴ x=-4 또는 x=1

따라서 다른 한 근은 -4이다.

진 방정식의 해이다.

x€+|2x-1|-2=0에서

1 x<;2!;일 때 x€-(2x-1)-2=0, x€-2x-1=0 ∴ x=1-'2 { 5 x<;2!;} 2 x>;2!;일 때

x€+(2x-1)-2=0, x€+2x-3=0

(x+3)(x-1)=0

∴ x=1 {

5 x>;2!;}

1, 2에서 방정식의 해는 x=1-‘2 또는 x=1이므로 구하는 모든

근의 합은 2-‘2이다.

04-1  400 m€

|해결 전략 | 처음 토지의 한 변의 길이를 x m로 놓고 방정식을 세운다.

처음 토지의 한 변의 길이를 x m

(x-3) m

(x>5)라 하면 길을 제외한 토지

3 m

의 모양은 오른쪽 그림과 같다.

(x-5) m

5 m

x€-8x+15=255, x€-8x-240=0

(x+12)(x-20)=0 ∴ x=20 (∵ x>5)

따라서 처음 토지의 한 변의 길이는 20 m이므로 처음 토지의 넓이는

400 m€이다.

04-2  24 cm

|해결 전략 | 직사각형의 가로의 길이를 x cm라 하면 세로의 길이는

5 이차방정식 031

03-1  ⑴ x=-1 또는 x=1 ⑵ x=-1 또는 x=5

|해결 전략 | 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 기준으로 x의 값의

범위를 나누어 절댓값 기호를 없앤 다음 푼다. 이때, 범위를 만족시키는 것만 주어

길을 제외한 토지의 넓이가

255 m€이므로

(x-3)(x-5)=255

진 방정식의 해이다.

⑴ x€+|x|-2=0에서

1 x<0일 때 x€-x-2=0, (x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 (5 x<0) 2 x>0일 때

x€+x-2=0, (x+2)(x-1)=0

∴ x=1 (5 x>0)

1, 2에서 구하는 해는 x=-1 또는 x=1

(34-x) cm이다. 또, 직사각형의 대각선의 길이는 원의 지름의 길이와 같다.

02-2  -1

|해결 전략 | x=-2를 주어진 이차방정식에 대입하여 상수 k의 값을 구한다.

kx€-2x+k€=0에 x=-2를 대입하면

4k+4+k€=0, (k+2)€=0

∴ k=-2

k=-2를 주어진 방정식에 대입하면

-2x€-2x+4=0, x€+x-2=0

(x+2)(x-1)=0

∴ x=-2 또는 x=1

따라서 k=-2, a=1이므로 k+a=-1

STEP

1

개념 드릴

| 100쪽 |

직사각형의 가로의 길이를 x cm라 하

면 직사각형의 둘레의 길이가 68 cm

x cm

이므로 세로의 길이는 (34-x) cm

26 cm

(34-x) cm

이다.

직사각형의 대각선의 길이는 원의 지름의 길이와 같은 26 cm이므로

x€+(34-x)€=26€, x€+34€-68x+x€=26€

x€-34x+240=0, (x-10)(x-24)=0

∴ x=10 또는 x=24

하는 직사각형의 가로의 길이는 24 cm이다.

이때, 직사각형의 가로의 길이가 세로의 길이보다 길어야 하므로 구

3 ⑴ k>-2 ⑵ k=-2 ⑶ k<-2 1 ⑴ 서로 다른 두 실근 ⑵ 서로 다른 두 허근 ⑶ 서로 다른 두 실근 ⑷ 중근 ⑸ 서로 다른 두 허근 ⑹ 중근 ⑺ 서로 다른 두 허근 2 ⑴ k<-;4#; ⑵ k=-;4#; ⑶ k>-;4#;

1 ⑴ x€-3x-2=0의 판별식을 D라 하면

D=(-3)€-4_1_(-2)=17>0

이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.

⑵ x€-3x+3=0의 판별식을 D라 하면

D=(-3)€-4_1_3=-3<0 이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다. ⑶ 3x€+6x+2=0의 판별식을 D라 하면 ;;4Î;;=3€-3_2=3>0

이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.

⑷ 9x€+6x+1=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=3€-9_1=0

이므로 중근을 갖는다.

이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.

⑹ x€-4’2x+8=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=(-2’2 )€-1_8=0

이므로 중근을 갖는다.

⑺ 2x€-2x+1=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=(-1)€-2_1=-1<0 이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다. 1 ⑴ 서로 다른 두 실근 ⑵ 중근 ⑶ 서로 다른 두 허근 ;;4Î;;=1€-5_1=-4<0 98쪽~99쪽 ⑸ 5x€+2x+1=0의 판별식을 D라 하면 2 이차방정식의 판별식 개념 확인 2 ⑴ -1, 7 ⑵ 3 1 ⑴ 2x€-2x-1=0의 판별식을 D라 하면 ;;4Î;;=(-1)€-2_(-1)=3>0

이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.

⑵ x€-4x+4=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=(-2)€-1_4=0

이므로 중근을 갖는다.

⑶ x€-x+2=0의 판별식을 D라 하면

D=(-1)€-4_1_2=-7<0 이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다. 2 ⑴ 주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 이차방정식 x€+(k+1)x+2(k+1)=0의 판별식을 D라 할 때 D=(k+1)€-4_1_2(k+1)=0 k€-6k-7=0, (k+1)(k-7)=0 ∴ k=-1 또는 k=7 ⑵ 주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 x에 대한 이차방정식 x€-2kx+k€-2k+6=0의 판별식을 D라 할 때 ;;4Î;;=(-k)€-1_(k€-2k+6)=0 ∴ k=3 2k-6=0 032 정답과 해설 2 x€-3x+k+3=0의 판별식을 D라 하면 D=(-3)€-4_1_(k+3)=-4k-3 ⑴ 서로 다른 두 실근을 가지려면 D>0이어야 하므로

-4k-3>0

∴ k<-;4#; ⑵ 중근을 가지려면 D=0이어야 하므로 -4k-3=0 ∴ k=-;4#; ⑶ 서로 다른 두 허근을 가지려면 D<0이어야 하므로 -4k-3<0 ∴ k>-;4#;

3 2x€+4x-k=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=2€-2_(-k)=4+2k

4+2k>0

∴ k>-2

⑵ 중근을 가지려면 ;;4Î;;=0이어야 하므로

4+2k=0

∴ k=-2

4+2k<0 ∴ k<-2 ⑴ 서로 다른 두 실근을 가지려면 ;;4Î;;>0이어야 하므로

⑶ 서로 다른 두 허근을 가지려면 ;;4Î;;<0이어야 하므로 ⑶ 서로 다른 두 허근을 가지려면 ;;4Î;;<0이어야 하므로 |해결 전략 | 이차식이 완전제곱식이 된다는 것은 (이차식)=0이 중근을 가진다 ⑵ 중근을 가지려면 ;;4Î;;=0이어야 하므로 -6k+4=0 ∴ k=;3@; -6k+4<0 ∴ k>;3@;

02-1  ⑴ 2, 10 ⑵ ;3&;

는 뜻이므로 판별식 D=0이다.

⑴ 주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 이차방정식

x€+(k-4)x+k-1=0이 중근을 가져야 하므로 판별식을 D라

할 때

D=(k-4)€-4(k-1)=0

k€-12k+20=0, (k-2)(k-10)=0

∴ k=2 또는 k=10

⑵ (k+3)x€+(k+3)x+k-1이 이차식이므로

k+3+0

∴ k+-3

주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 이차방정식

(k+3)x€+(k+3)x+k-1=0이 중근을 가져야 하므로 판별식

을 D라 할 때

D=(k+3)€-4(k+3)(k-1)=0

| 101쪽~102쪽 |

(k+3){k+3-4(k-1)}=0

STEP

2

필수 유형

01-1  a=0, b=1

|해결 전략 | 이차방정식이 k의 값에 관계없이 중근을 가지면 판별식 D=0은 k

에 대한 항등식이다.

x€+2(k+a)x+k€+a€+b-1=0의 판별식을 D라 하면

(k+3)(-3k+7)=0

∴ k=-3 또는 k=;3&;

그런데 k+-3이므로 k=;3&;

;;4Î;;=(k+a)€-(k€+a€+b-1)=2ak-b+1

중근을 가지려면 D=0이어야 하므로

2ak-b+1=0

이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로

2a=0, -b+1=0

∴ a=0, b=1

01-2  ⑴ k<-2 또는 -2;3@;

|해결 전략 | 이차방정식 ax€+bx+c=0에서 실근, 허근을 따질 경우는 판별식

D=b€-4ac의 부호를 조사한다. 이때, a+0임에 주의한다.

(k+2)x€-2(k-2)x+k=0이 이차방정식이므로

k+2+0

∴ k+-2

(k+2)x€-2(k-2)x+k=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=(k-2)€-(k+2)_k=-6k+4

⑴ 서로 다른 두 실근을 가지려면 ;;4Î;;>0이어야 하므로

-6k+4>0

∴ k<;3@; 그런데 k+-2이므로 k<-2 또는 -2

유형 해결의 법칙 고등 수학(상)(2022) – 교보문고

1.총평을 하면…선행학습 시에 개념서와 더불어 유형문제를 체계적으로 학습하고자 할 때 유용합니다. 개인적으로는 유형마스터까지는 숙제용으로 내주고 내신마스터 부분은 학원(공부방)에 와서 테스트용으로 풀도록 유도하고 있습니다.전체적인 흐름을 볼 때 난이도가 중+정도라 아이들이 실력점검하기에 무난하다고 보입니다. 중위권 학생들의 시험대비용이나 상위권 학생들의 유형익히기에 적합한 문제집입니다.2. 수학문제집을 선택할 때 고민하는 것중의 하나가 연산교재를 따로 구매해야 하나 하는 문제가 있는 데 개념마스터 부분을 연습장에 몇 회 풀도록 하면 이 고민을 하지 않아도 될 것 같습니다.특히 타문제집과 달리 중요개념과 기초예제를 함께 배치하여 보다 효율적으로 학습할 수 있을 것같습니다.유형마스터 부분은 말 그대로 유형별로 대표문제와 이에 따른 유형문제를 학습하도록 구성되어있습니다.문제별로 난이도 편차가 크지 않아 물 흐르듯이체계적인 훈련이 가능할 것입니다. 중위권 학생들의 내신 다지기에 좋을 듯 합니다.내신마스터는 단원별 마무리 문제라고 할 수 있는 데 유형마스터에서 학습한 부분을 복습하고점검할 수 있도록 하고 있습니다. 선행학습 시 테스트용이나 내신시험 대비 시 중간점검용으로 사용하면 좋을 것으로 보입니다.기본기가 약한 학생들은 시험 일주일전 집중 학습할 수 있도록 지도하면 기대하는 점수를 충분히 획득할 수 있을 것입니다.심화문제 부분은 일반고 내신에서 변별력을 요구하는 문제로 출제될 가능성이 높은 문제들로 구성되어있습니다. 실제 몇몇 문제는 이 곳 여러학교에서 자주 출제되었던 문제들입니다.곧 중간시험 기간이 시작됩니다. 이번에도 내신마스터 부분과 심화문제 부분을 여러번 반복하여지도할 계획입니다. 좋은 결과가 나오길 기대하고 있습니다. 감사합니다.

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