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중복조합개념 쉽게 이해하기 / 고등학교 / 확률과 통계

조합/중복 조합 계산기 | OurCalc

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조합 계산기 사용시 주의할 점

조합 이란

조합 계산법

조합 공식

중복 조합이란

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Summary of article content: Articles about ì¡°í© ê³ì°ê¸° 순열·조합·중복조합·중복순열 계산기. Craft JJ (임정주) 개발. 문의/지원 YouTube. 후원 계좌: 농협 302-2412-8411-91 임정주 조그마한 후원도 개발자에겐 힘이 … …
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중복 조합 계산기

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조합/중복 조합 계산기

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목차:

조합 계산기 사용시 주의할 점

조합 계산은 팩토리얼(factorial, 계승)을 포함합니다. n!에서 n이 조금만 커져도 n! 값은 기하급수적으로 커집니다.

예를 들어, 100!의 정확한 값은 다음과 같습니다.

93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

조합 계산기는 자바스크립트를 기반으로 하고 있는데요, 자바스크립트는 이처럼 큰 수를 제대로 계산하지 못합니다. 메모리 문제도 있고요.

해서, n에 해당하는 수는 170(중복 조합의 경우 n과 r을 더한 수치로 171)이 한계라는 점 참고하시기 바랍니다.

참고: 171! 이상의 팩토리얼 실제 수치를 확인하려면 팩토리얼 계산기를 이용하세요.

조합 이란?

조합은 ‘서로 다른 n개에서 r개를 선택’한다는 점에서 순열과 같지만 순서를 고려하지 않는다는 점에서 순열과 차이가 있습니다.

조합은 영어의 combination에서 C를 따서 서로 다른 n개에서 순서를 생각하지 않고 r개를 뽑는 선택의 경우의 수를 $ _{n}C_{r} $와 같이 표시합니다.

조합 계산법

조합 계산은 순열 계산의 연장선에서 생각할 수 있습니다.

즉, 조합은 순서를 고려하지 않으므로, 순서를 고려한 순열을 선택한 r개를 일렬로 나열하는 순열로 나눈 것이라고 생각할 수 있습니다. 예를 들어, 서로 다른 5개의 카드에서 3개의 카드를 뽑는 조합은 5 P 3 을 3 P 3 으로 나눈 값과 같습니다.

왜냐하면 5 P 3 은 3개를 뽑아서 3개를 일렬로 나열한 것이니 3개를 일렬로 나열하는 부분을 없애주면 조합이 되는데, 서로 곱하는 것을 없애려면 나누어 주면 되기 때문입니다.

예를 들어, A, B, C, D, E 라는 5개의 카드가 들어 있는 주머니에서 3개를 선택하는 조합을 계산하는 다음과 같이 계산하면 됩니다.

$$ _{5}C_{3} = \frac{_{5}P_{3}}{_{3}P_{3}} = 10 $$

조합 공식

조합 공식은 보통 아래의 공식을 많이 씁니다.

$$_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} $$

그런데, 위 공식은 아래 공식에서 도출된 것입니다. 즉, n P r 을 r P r 로 나누어 주면 위의 공식이 도출됩니다.

따라서 조합 공식은 아래의 것을 이용해도 됩니다.

$$ _{n}C_{r} = \frac{_{n}P_{r}}{_{r}P_{r}} $$

한편, $ _{r}P_{r} $은 r!과 같으므로 아래와 같이 생각해도 됩니다.

$$ _{n}C_{r} = \frac{_{n}P_{r}}{r!} $$

중복 조합이란?

순열과 중복 순열의 차이는 반복을 허용하지 않느냐 아니면 허용하느냐의 차이인 것처럼 중복 조합도 조합이긴 하되 반복해서 선택될 수 있도록 하는 선택 방법이라고 할 수 있습니다. 중복 조합 공식은 다음과 같습니다.

$$ _{n}H_{r} = _{n+r-1}C_{r} = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!} $$

중복 조합의 공식이 도출된 과정을 이해하려면 약간의 스킬이 필요한데요, 이에 대해서는 중복 조합 idea를 참고 하시기 바랍니다.

순열 계산기도 이용해 보세요.

[중복조합] H를 버리고 C로 계산하는 이유

중복조합의 개념을 설명하는데 사용되는 아이디어는 별게 아니다.

‘중복을 허용하지 않는 경우가 중복을 허용하는 경우보다 다루기 쉽다.’

이 사실을 바탕으로 중복을 허용하는 중복조합(H)은 중복을 허용하지 않는 조합(C)으로 바꾸어 생각하고 계산한다.

간단한 예로 시작한다. 세 숫자 1, 2, 3 중에서 중복을 허용하여 2개의 숫자를 택하는 조합은 6가지 경우가 있다.

(1, 1), (1, 2), (1, 3)

(2, 2), (2, 3), (3, 3)

이처럼 선택하는 대상 과 선택하는 개수 가 작을 때는 직접 그 경우를 나열하면 되기 때문에 집중력만 흩어지지 않으면 어렵지 않게 조합을 나열할 수 있다. 그러나, 다음처럼 선택하는 대상과 선택하는 개수가 조금이라도 크면 직접 그 경우를 나열하기가 쉽지 않다. 그 이유는 바로 우리의 머리를 어지럽게 하는 중복 때문이다. 다음 조합을 직접 나열해 보라. 그러면 왜 중복이 우리의 머리를 어지럽게 하는지 실감할 것이다.

(1) 1, 2, 3, 4, 5 중에서 중복을 허용하여 3개의 숫자를 택하는 조합의 수

(2) 1, 2, 3 중에서 중복을 허용하여 5개의 숫자를 택하는 조합의 수

H를 버리고 C를 택할 수밖에 없는 이유 – 중복이 싫어서

순열, 중복순열, 조합은 다음 공식처럼 팩토리얼 n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1과 거듭제곱만으로 계산이 가능하다.

그러나 우리가 만나는 중복조합 공식은 팩토리얼(!)과 거듭제곱으로 곧바로 계산하지 못하고 조합으로 바꾸어 그 계산 방법을 따른다. 왜 이런 공식이 나왔을까? 왜 중복조합을 조합으로 바꾸어 계산해야 할까? 이에 대한 명쾌한 답과 이해를 갖고 있는 이는 그닥 없어 보인다.

여기 수학벙커에서 그것을 조심스렇게 까발려 보려고 한다.

세 숫자 1, 2, 3 중에서 중복을 허용하여 2개의 숫자를 택하여 얻은 6개의 조합 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)을 (x, y)라 할 때, (x, y)를 (x+0, y+1)로 바꾼다. 즉, 첫 번째 수는 그대로 두고, 두 번째 수에 1을 더하면 다음처럼 일대일 대응이 되는 새로운 6가지 경우가 만들어진다. 중복이 사라지는 장점과 함께 조합의 수는 여전히 변하지 않는다.

(x, y) : (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

(x+0, y+1) : (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)

그런데 이것은 네 숫자 1, 2, 3, 4 중에서 중복을 허용하지 않고 2개의 숫자를 택하는 조합과 같다. 이 아이디어는 ‘중복을 허용하지 않는 경우가 중복을 허용하는 경우보다 다루기 쉽다.’는 사실을 충실하게 따른 것이다.

중복조합 조합 선택 대상 3개(1, 2, 3) 4개(1, 2, 3, 4) : 새롭게 추가된 숫자 1개(4) 선택 개수 2 2 중복 여부 허용 비허용 표현 방법 3H2 4C2 ◀ 4 = 3 + (새롭게 추가된 숫자 1개) 경우의 수 6가지 : (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3) 6가지 : (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)

결국, n개 중에서 중복을 허용하여 r개를 택하는 중복조합이 n + r – 1개 중에서 중복을 허용하지 않고 r개를 택하는 조합으로 바뀐다. 이때, 중복허용이 중복비허용으로 바뀌면서 선택하는 대상이 n개에서 n + r – 1로 바뀐다. 즉, (선택하는 개수) – 1만큼 바뀌는 것이다.

H를 버리고 C를 택할 수밖에 없는 또다른 예

예를 하나 더 보자. 두 숫자 1, 2 중에서 중복을 허용하여 3개의 숫자를 택하는 조합은 4가지 경우가 있다. 이 역시 선택하는 대상과 선택하는 개수가 작아 어렵지 않게 각각의 조합을 나열할 수 있다. 택하는 조합을 순서쌍 (x, y, z)라 할 때, (x+0, y+1, z+2)로 바꾸면 다음처럼 일대일 대응이 이루어진다. (x, y, z) : (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 2), (2, 2, 2) ↓ ↓ ↓ ↓ (x+0, y+1, z+2) : (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4) 그런데 이것은 네 숫자 1, 2, 3, 4 중에서 중복을 허용하지 않고 3개의 숫자를 택하는 조합과 같다. 이 아이디어 역시 ‘중복을 허용하지 않는 경우가 중복을 허용하는 경우보다 다루기 쉽다.’는 사실을 충실하게 따른 것이다. 중복조합 조합 선택 대상 2개(1, 2) 4개(1, 2, 3, 4) : 새롭게 추가된 숫자 2개(3, 4) 선택 개수 3 3 중복 여부 허용 비허용 표현 방법 2H3 4C3 ◀ 4 = 2 + (새롭게 추가된 숫자 2개) 경우의 수 4가지 : (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 2), (2, 2, 2) 4가지 : (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4)

일상생활에서 우리는 매순간 선택과 배열을 하도록 강요받고 있다

선택은 여럿 가운데 하나를 고르는 행위이다. 문제를 해결하기 위한 몇 가지 수단과 방법을 깨닫고 그 가운데서 어느 것을 골라내는 작용이다. 우리는 매순간마다 이러한 선택의 상황에 내몰린다. 그때마다 하나가 아닌 여러 가지 선택 대상 중에서 하나를 선택하게 되고 그 선택의 결과로 또다시 새로운 선택 상황이 전개된다. 결국, 선택은 매순간마다 매우 중요한 가치를 갖게 된다.

지금 이 순간에 화장실을 갈 것인가, 말 것인가 역시 선택의 하나이며 가위바위보를 할 때나 주말 오후에 친구와 함께 볼 영화를 고를 때도, 식당에서 음식을 주문할 때 역시 선택을 하게 된다. 이처럼 우리는 일상생활 속에서 매순간 선택을 한다. 배열 역시 우리가 흔히 접하는 일이다. 지하철을 타기 위하여 줄을 서고 요리를 할 때 재료를 차례대로 넣는다. 이때 지하철을 타는 순서에 따라 객차 안에서의 위치가 바뀌고 재료를 넣는 순서가 잘못되면 요리의 맛이 떨어진다. 또한, 서점에서 책을 어떻게 배열하는가에 따라 판매부수의 차이가 발생한다.

이처럼 선택과 함께 무엇인가를 배열해야 하는 일은 일상생활에서 빈번히 일어난다. 이러한 선택과 배열은 그 다음 상황에 계속 영향을 미치므로 수학적으로 분석하고 접근하여 보다 효율적인 선택과 배열을 할 필요가 있다. 살아가면서 매순간 우리는 끊임없는 선택의 기로에 선다. 이때 어떤 선택이 합리적인가를 깨닫는 것은 매우 중요한 일이며 복잡한 현실 문제에 맞닥뜨렸을 때 포기하지 않고 문제 해결의 실마리를 찾는 인내 역시 얻게 될 것이다.

방금 한 님의 선택이 님의 운명을 결정지을 겝니다.

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조합/중복 조합 계산기

[중복조합] H를 버리고 C로 계산하는 이유

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