Top 28 수학적 귀납법 증명 문제 All Answers

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104. 수학적 귀납법 – 개념정리기본문제

5종 교과서 수학적 귀납법 문제 모음 (2015 개정기준)

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5종 교과서 수학적 귀납법 문제 모음 (2015 개정기준)

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★[문과] 수학적 귀납법 30초안에 푸는 방법 ★ - 오르비 — ★[문과] 수학적 귀납법 30초안에 푸는 방법 ★ – 오르비

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피크에듀학원 도곡본원 (매쓰피크)

서울시 강남구 언주로 120 302호
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수학1 수학적귀납법 단원 모의고사 기출문제 (5)

수학1 수열 단원 기출 문제

(정답)

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★ 수학적 귀납법 문제 : n(n+1)(2n+1)은 6의 배수 : 네이버 블로그

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수악중독

수학적 귀납법 증명_난이도 중 (2016년 7월 교육청 나형 19번) 본문

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수학적 귀납법 증명 문제 주제에 대한 동영상 보기

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주제와 관련된 이미지 수학적 귀납법 증명 문제

주제에 대한 기사 평가 수학적 귀납법 증명 문제

5종 교과서 수학적 귀납법 문제 모음 (2015 개정기준)

★ 수학적 귀납법 문제 n(n+1)(2n+1)은 6의 배수

★[문과] 수학적 귀납법 30초안에 푸는 방법 ★

난이도 중 (2016년 7월 교육청 나형 19번)

[2022학년도 논술길잡이] 출제 빈도 높은 수학적 귀납법 증명 문제

키워드에 대한 정보 수학적 귀납법 증명 문제

사람들이 주제에 대해 자주 검색하는 키워드 104 수학적 귀납법 – 개념정리u0026기본문제

5종 교과서 수학적 귀납법 문제 모음 (2015 개정기준)

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신사고, 미래엔, 비상, 지학사, 교학사

교과서 5종을 싹 털어서

수학적 귀납법 문제를 모아 왔습니다!

기말고사 서술형에 단골로

출제되는 문항이기에,

통째로 증명하는 걸 연습해보도록 해요.

등식, 부등식, 배수판정으로

전체를 유형별 분류했고,

순서는 많은 교과서에 실린순으로

실어두었어요.

1. 등식

가장 기본적인 유형입니다.

n=k일 때를 가정하고,

n=k+1일 때도 성립하게끔

중간과정을 유도해주시면 되죠.

문제1

(교학사, 미래엔, 비상, 신사고, 지학사)

문제2

(교학사, 미래엔, 비상, 지학사)

문제3

(미래엔, 비상, 신사고, 지학사)

문제4

(교학사, 미래엔, 비상, 지학사)

문제5

(교학사, 비상, 지학사)

문제6

(미래엔, 신사고)

문제7

(미래엔)

문제8

(신사고)

문제9

(신사고)

2. 부등식

조금 난도가 올라갑니다.

등식과 달리,

n=k일때를 가정했을 때,

n=k+1의 식이 바로 안 나오거든요.

이 때는 A>B이고, B>C이면

A>C임을 이용해서

증명을 해주시면 됩니다.

문제1

(교학사, 미래엔, 비상, 신사고, 지학사)

문제2

(교학사, 미래엔, 비상, 신사고, 지학사)

문제3

(교학사, 신사고)

문제4

(교학사, 지학사)

문제5

(비상, 신사고)

문제6

(미래엔)

문제7

(미래엔)

문제8

(비상)

3. 배수판정

위 1.2와 다른 방법으로 풉니다.

n=k+1일때를 직접 바로 써서

배수가 되는 걸 보여주면 됩니다.

문제1

(미래엔, 신사고)

문제2

(미래엔, 비상)

문제3

(신사고)

위에 실린 문제만 다 할줄 알면,

5종 교과서에 나온 수학적 귀납법 증명은

모두 잡는거죠!

분량이 많아 해설은

다음 포스팅에 올릴테니,

그동안 열심히 증명해보시고

나중에 같이 정답을 맞춰보도록 해요.^^

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★ 수학적 귀납법 문제 : n(n+1)(2n+1)은 6의 배수

★ 수학적 귀납법 문제 : n(n+1)(2n+1)은 6의 배수

모든 자연수 n에 대하여 n(n+1)(2n+1)은 6의 배수임을 증명하여라.

’모든 자연수 n에 대하여~’라는 말이 나오는 증명 문제는

일반적으로 ‘수학적 귀납법’이라는 방법을 이용하여 증명한다.

위 문제에서 이용할 수학적 귀납법의 순서는

n=1인 경우를 먼저 보인 뒤에

n=k인 경우에 위 명제가 성립한다고 가정하면

n=k+1인 경우에도 위 명제가 성립함을 보이면 된다.

★ 왜 n=1부터 확인하는가?

→ n이 자연수라 했으므로 자연수의 시작인 1부터 보여야 한다.

★ 왜 n=k인 경우에 성립한다고 가정하면

n=k+1인 경우에도 성립함을 보여야 되는가?

→ n=k가 성립할 때 n=k+1일 때도 성립한다는 뜻은

자연수 n=1, 2, 3, … 등인 경우 연속적으로 성립함을 뜻한다.

그렇다면 위 순서에 맞춰 풀이를 시작한다.

[1] n=1인 경우

n=1일 때, 1×2×3=6으로 위 명제가 성립한다.

[2] n=k인 경우

n=k일 때, 위 명제가 성립한다고 가정하면

k(k+1)(2k+1)는 6의 배수

n=k+1일 때, (k+1)(k+2){2(k+1)+1}

=(k+1)(k+2)(2k+3)

=(k+1)(2k²+7k+6)

=(k+1)(2k²+k)+(k+1)(6k+6)

=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²

k(k+1)(2k+1)은 6의 배수이고,

6(k+1)²도 6의 배수이므로

n=k+1일 때에도 성립한다.
[1], [2]에 의하여 주어진 명제는

모든 자연수 n에 대하여 성립한다.

난이도 중 (2016년 7월 교육청 나형 19번)

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다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n (2k-1)(2n+1-2k)^2=\dfrac{n^2 \left (2n^2+1 \right )}{3}$$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(i) $n=1$ 일 때, (좌변)=$1$, (우변)=$1$ 이므로 주어진 등식은 성립한다. (ii) $n=m$ 일 때, 등식 $\sum \limits_{k=1}^m(2k-1)(2m+1-2k)^2=\dfrac{m^2 \left (2m^2 +1 \right )}{3} $ 이 성립한다고 가정하자. $n=m+1$ 일 때, $\sum \limits_{k=1}^{m+1} (2k-1)(2m+3-2k)^2$ $=\sum \limits_{k=1}^m(2k-1)(2m+3-2k)^2 + (가) $ $= \sum \limits_{k=1}^m(2k-1)(2m+1-2k)^2+(나)\times \sum \limits_{k=1}^m(2k-1)(m+1-k)+(가)$ $=\dfrac{(m+1)^2 \left \{ 2(m+1)^2 +1 \right \}}{3}$ 이다. 따라서 $n=m+1$ 일 때도 주어진 등식이 성립한다. (i), (ii) 에 의하여 모든 자연수 $n$ 에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

위의 (가) 에 알맞은 식을 $f(m)$, (나)에 알맞은 수를 $p$ 라 할 때, $f(3)+p$ 의 값은?

① $11$ ② $13$ ③ $15$ ④ $17$ ⑤ $19$

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정답 ③

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수학1 수학적귀납법 단원 모의고사 기출문제 (5)

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