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고2 수학 수열 정리 : 네이버 블로그
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수학 개념 정리/공식 : 수열, 등차수열, 등차수열의 일반항, 등차중항, 등차수열의 합, 등비수열, 등비수열의 일반항, 등비중항, 등비수열의 합
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수열(sequence) 정리
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수열 공식 정리
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등비수열의 합, 등비수열의 합 공식 – 수학방
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등비수열의 합 등비수열의 합 공식
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고2 수학 수열 정리
수열 정리
고등학교 2학년에 들어가면 수열을 배우게 된다.
수열단원은 다른단원과 달리 독립성이 강하므로 규칙을 발견한다는
기본 자세를 가지고 접근하면 생각보다 어렵지 않은 단원이다.
우선 수열은 수의 나열이다.
좀 더 자세히 말하면 수의 규칙적 나열이기 때문에
우리는 수가 나열된 것을 수열이라고 하지만 그냥 아무 수나 나열되어 있는 것이 아니라
일정한 규칙을 가지고 나열되어 있다는 것에 초점을 맞추어
나열된 수들의 규칙을 발견하는 것이 수열을 공부하는 기본 자세이다.
먼저 수열을 배우게 되면 일정한 수의 차이가 있는 수열인 등차수열을 배우게 되고
등차수열의 일반항과 합을 배운다음 역수가 등차수열을 이우는 조화수열을 배우고
일정한 곱의 차이가 있는 등비수열을 이어서 배운 후 등비수열의 일반항과 합을 배우고
등비수열에서 응용인 원리합계를 배운 후
계차수열과 군수열을 배우게 된다.
또한 시그마라고 하는 기호의 의미와 기본 공식들을 배운다.
계차수열은 수열의 차이를 나열했을때 이 수들이 일정한 수열을 이루는 것을 의미하는데
계차수열의 일반항과 합을 공부하면 된다.
다음으로 수들을 몇개씩 묶어서 규칙을 발견하는 군수열이 있는데
여러 문제 유형을 통해 군의 규칙을 발견하는 훈련을 해야 한다.
등차,조화,등비,계차,군 수열을 배운후
수학적 귀납법과 점화식을 배우고 나서 순서도를 배우면 수열단원은 막을 내린다.
원리합계는 등비수열의 응용이고 직접 여러번 해본후 기본문제를 직접 풀어봐야 익힐수 있다.
위의 세 공식은 암기해야 할 공식이다.
수열(sequence) 정리
1. 등차수열
정의 : 인접한 두 항 사이의 차가 일정한 수열.
일반항 :
등차중항 :
등차수열의 합 :
수열의 합과 일반항의 관계 :
cf)조화수열
정의 : 수열 에서 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열.
일반항 :
2. 등비수열
정의 : 인접한 두 항의 비가 일정한 수열.( )
일반항 :
등비중항 :
등비수열의 합 : ,
cf1) 수능에서 ‘도형’문제의 경우, 대부분 닮음이므로 빠르게 등비수열임을 감안해 계산 가능.
cf2) 원리합계 단리법 : , 복리법 :
(매년 초 : 초항 a(1+r), 공비 1+r, 매년 말 : 초항 a, 공비 1+r)
3. 여러 가지수열
1) 계차수열
정의 : 수열 에서 인접한 두 항의 차가 하나의 수열을 이루는 수열.( )
일반항 : (n=2,3,4,…)
2) 군수열
정의 : 수열 에서 몇 개의 항이 일정한 규칙에 따라 짝을 지어 이루어지는 수열.
풀이법 : 계차수열이용
1) 각 군의 첫째항들의 계차수열을 이용해 군수열의 제 n군의 첫째항을 구한다.
2) 제 n군의 총합을 구한다.(n군의 첫째항, 항수, 규칙 이용)
3) 제 1군부터 제 n군까지의 합 : ( 는 제 k군의 총합)
3)멱급수
정의 : 수열 에서 두 수의 곱이 앞의 수는 등차수열, 뒤의 수는 등비수열로 진행될때의 수열의 합
풀이법 : 1) 주어진 수열 전체에 등비수열의 공비 r을 곱한다.
2) 주어진 수열을 S-rS꼴로 만들어 계산한다.
4. 유용한 합공식
1) 1+2+3+…+14=105 (제 14군 9번째 항)
2) 1+3+5+…+(제 n항)=
3) 1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+…+제 n항)=
4)
5)
6)
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등비수열의 합, 등비수열의 합 공식
등비수열에 대해서 알아봤으니까 이제는 등비수열의 합에 대해서 알아보죠.
등비수열의 합 공식은 등차수열의 합 구하는 공식과 유도 과정이 비슷하지만 달라요. 어떤 점이 다른지 잘 보세요. 등차수열의 합 공식은 두 가지가 있었는데, 사실은 같은 거였어요. 등비수열의 합 공식은 세 개인데 두 개는 서로 같고 하나는 다른 공식이에요. 공비에 따라 공식이 달라지는데 왜 그런지를 잘 이해하세요.
등차수열의 합 문제와 등비수열의 합 문제는 공식만 다를 뿐 거의 비슷해요. 그리고 공식을 적용해서 계산할 때 조금 더 쉽게 계산할 수 있는데, 이건 연습을 통해서 감을 익혀야 합니다.
등비수열의 합
등차수열의 합을 구할 때는 S n 을 원래 순서대로 한 번, 순서를 바꿔서 한 번 더해서 2로 나눠서 구했어요.
S n = a + ar + ar2 + ar3 + … + arn – 2 + arn – 1
S n = arn – 1 + arn – 2 + … + ar3 + ar2 + ar + a
등차수열에서는 원래 순서대로 더한 것과 거꾸로 더한 것에서 같은 자리에 있는 항을 더하면 모두 값이 같았는데, 등비수열에서는 그렇지 않죠? 등비수열의 합은 다른 방법으로 구해요.
어떻게 하느냐면 순서를 거꾸로 바꿔서 더하는 대신에 S n 에 공비 r을 곱해서 빼는 거예요.
아래에 나온 것처럼 S n 에 공비 r을 곱하면 S n 의 제2항은 rS n 의 제1항과 같고, S n 의 제3항은 rS n 의 제2항과 같죠? 같으니까 그냥 빼면 없어져 버려요.
S n – rS n = (1 – r)S n = a – arn
r ≠ 1이면 양변을 (1 – r)로 나눌 수 있죠?
r = 1이면 양변을 나눌 수 없어요. 다른 방법을 찾아야 해요. 그냥 a n 를 죽 쓰고 더해보죠.
S n = a + ar + ar2 + … + arn – 1
= a + a + a + … + a (∵ r = 1)
= na
r ≠ 1일 때 공식은 일반항을 이용한 공식인데, 마지막 항 a n = arn – 1 = l이라고 하면 공식이 어떻게 바뀌는지 구해보죠.
을 전개해볼까요?
r ≠ 1일 때 2개의 공식, r = 1일 때 1개의 공식을 얻었어요.
제1항이 a, 공비가 r인 등비수열의 제1항부터 제n항까지의 합 S n
제1항이 a, 공비가 r, 마지막 항이 l인 등비수열의 제1항부터 제n항까지의 합 S n
다음 등비수열의 합을 구하여라.
(1) 첫째항이 1, 공비가 3인 등비수열의 제1항부터 제5항까지의 합
(2) 2, 4, 8, 16, 32, …, 1024
(3) 제1항부터 제3항까지의 합이 -3, 제1항부터 제6항까지의 합이 21일 때, 제1항부터 제9항까지의 합을 구하여라.
(1) 첫째항이 1, 공비가 3인 등비수열의 제1항부터 제5항까지의 합을 공식에 바로 대입해보죠.
121이네요.
(2) 2, 4, 8, 16, 32, …, 1024는 첫째항이 2이고 공비가 2 마지막 항이 1024인 등비수열이네요.
마지막 항이 있는 공식을 이용해 볼까요?
아니면 1024가 몇 번째 항인지부터 구해서 합을 얻을 수도 있어요.
2n = 1024 → n = 10
(3) 이게 어려운 문제예요. 풀이 과정을 잘 봐두세요.
제1항부터 제3항까지의 합이 -3을 식으로 나타내면
제1항부터 제6항까지의 합이 21을 식으로 나타내면
식이 두 개고 모르는 문자도 2개인데, 차수가 너무 커서 일반적인 연립방정식으로 풀기는 어려워요. 이때는 어떻게 하느냐면 식 하나를 인수분해한 다음 다른 식을 대입해요.
r = -2를 구했으니까 두 식 중 아무 식에나 대입해서 a를 구할 수도 있어요.
a와 r을 구했으니까 등비수열의 합 공식에 대입해보죠.
답은 -171이네요.
이 문제는 r = -2를 바로 구할 수 있는 문제고요. 때에 따라서는 r을 바로 구하지 못할 때도 있어요. 이때의 풀이법을 알아보죠.
r을 구했던 식으로 돌아가죠.
r3 + 1 = -7
r3 = -8
r = -2를 바로 구할 수 있지만 구할 수 없다고 가정하고 풀어볼게요.
제1항부터 제9항까지의 합을 식으로 나타내면
이 문제에서는 r3 = -8 → r = -2를 구할 수 있어서 이 과정이 굳이 필요 없지만, 문제에 따라서 r3 = -7처럼 r을 바로 구하지 못하는 경우가 있어요. 이럴 때에도 문제를 풀려면 위 과정을 이해해야 해요.
되게 어려운 문제인데, 문제에 나온 설명대로 식을 세우고, 한 식을 인수분해한 다음 다른 식을 대입하는 방법으로 풀어요.
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정리해볼까요 등비수열의 합 제1항이 a, 공비가 r인 등비수열의 제1항부터 제n항까지의 합 S n
제1항이 a, 공비가 r, 마지막 항이 l인 등비수열의 제1항부터 제n항까지의 합 S n
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